上海市徐汇区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知 $U = R ， A = {x | x < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ .

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2. 函数 $y = \sqrt{2 x + 1} + \sqrt{3 - 4 x}$ 的定义域为．

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3. 不等式 $| x | - 1 < 0$ 的解集为

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4. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ ，则b的值为．

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5. 若 $3^{x} = 2$ ，则 $l o g_{2} 9 - l o g_{3} 8$ 用含x的代数式表示为.

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6. 不等式 $\frac{5}{x - 2} \leq 1$ 的解集是

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7. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ， $B = {x ∣ 0 < x < 6 ， x \in N}$ ，则满足条件 $A$ $\subset$ $C \subseteq B$ 的集合 $C$ 的个数为个

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8. 函数 $y = 2 - \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ 的值域是．

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (1 - a) x ， x \leq 1 ， \\ a^{x} ， x > 1 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $x \in R$ 上有最大值，那么实数 $a$ 的取值范围为

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10. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的x取值范围是.

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11. 狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，则称 $f (x)$ 为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数 $f (x)$ ，给出下面4个命题：其中真命题的有
①．对任意 $x \in R$ ，都有 $f [f (x)] = 1$
②．对任意 $x \in R$ ，都有 $f (- x) + f (x) = 0$
③．对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1})$
④．若 $a < 0$ ， $b > 1$ ，则有 ${x | f (x) > a} = {x | f (x) < b}$

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12. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ ，若存在两相异实数 $m ， n$ 使 $f (m) = f (n) = c$ ，且 $a + 4 b + c = 0$ ，则 $| m - n |$ 的最小值为

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二、单选题

13. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式中不能成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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14. 若 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、2 C、4 D、8

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， & x \leq 0 \\ | l g x | ， & x > 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f (3 - x) - 1$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 对于函数 $y = f (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0}) = - f (- x_{0})$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 与点 $(- x_{0} ， - f (- x_{0}))$ 是函数 $f (x)$ 的一对“隐对称点”．若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x < 0 \\ m x + 2 ， x \geq 0 \end{array}$ 的图象存在“隐对称点”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2 - 2 \sqrt{2} ， 0)$ B、 $(- \infty ， 2 - 2 \sqrt{2}]$ C、 $(- \infty ， 2 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $(0 ， 2 + 2 \sqrt{2}]$

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三、解答题

17. 已知正数x、y满足x+2y=1，求 $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ 的最小值，并求出 $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ 取到最小值时x、y的值.

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18. 已知非空集合 $A = {x | x^{2} - (3 a - 1) x + 2 a^{2} - a < 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ ，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $g (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x} + 1$

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $f (x) = \frac{g (x) - 2 x}{x}$ ，若存在 $x \in [2 ， 3]$ 使 $f (x) - k x \leq 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段.特朗普政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单.值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书.华为投资研究部表明：市场占有率y与每日研发经费x（单位：亿元）有关，其公式为 $y = \frac{3 x}{2 x^{2} + m x + 2} (x > 0)$

(1)、若 $m = 0$ 时，华为市场占有率超过 $\frac{2}{3}$ ，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（ $\sqrt{17} \approx 4.2$ ，保留小数点后两位）

(2)、若 $- 1 < m < 1$ 时，华为市场占有率的最大值为 $\frac{4}{5}$ ，求常数m的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} + a}$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、设 $g (x) = k x^{2} + 2 k x + 1 (k \neq 0)$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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