上海市虹口区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x = 0}$ ，则 $A ∪ B =$ ．

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2. 不等式 $202 2^{x} \leq 1$ 的解集为．

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3. 已知a、b是方程 $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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4. 已知 $0 < x < 4$ ，则 $x (4 - x)$ 的最大值为．

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5. 设 $α$ ： $m + 1 \leq x \leq 2 m + 4 (m \in R)$ ； $β$ ： $1 \leq x \leq 3$ ．若 $β$ 是 $α$ 的充分条件，则实数m的取值范围为．

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6. 已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 $m^{2}$ 的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是.

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8. 若存在实数x满足 $| x + 1 | + | x - 2 | \leq - a^{2} + a + 5$ ，则实数a的最小值为．

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9. 不等式 $| x + 1 | + | x - 3 | \leq 6$ 的解集为．

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10. 若函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} (x > 0)$ 的反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则关于x的不等式 $f^{- 1} (x) \leq 3$ 的解集为．

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11. 已知函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[1 ， 2]$ 的最大值与最小值之差等于 $\frac{a}{2}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x | x | - 2 x ， x < a \\ 1 - x ， x \geq a \end{array}$ 有2个零点，则实数a的取值范围是．

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13. 在实数运算中定义新运算“ $\oplus$ ”： $a \oplus b = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b^{2} ， a < b \end{array}$ ，则函数 $y = (x^{2} - 3) \oplus (2 x)$ 的零点个数为．

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二、单选题

14. 设a、b都是实数，则“ $a > 1$ 且 $b > 2$ ”是“ $a + b > 3$ 且 $a b > 2$ ”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既非充分也非必要

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15. 函数 $y = x (2^{x} - 2^{- x})$ 的图象关于（）对称

A、x轴 B、y轴 C、原点 D、直线 $y = x$

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16. 函数 $y = 2^{x} - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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17. 已知a、 $b \in R$ ，有以下3个命题：①若 $0 < a < b < 1$ ，则 $a^{a} < b^{b}$ ；②若 $0 < a < b < 1$ ，则 $l o g_{a} b < l o g_{b} a$ ；③若 $a > b > 1$ ，则 $a^{b} < b^{a}$ ．其中真命题的个数是（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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18. 设关于x的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 与 $d x^{2} + e x + f \leq 0$ 的解集分别为 $(- \infty ， 2] \cup [3 ， + \infty)$ 与 $\emptyset$ ，则不等式 $(a x^{2} + b x + c) (d x^{2} + e x + f) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $R$ D、 $\emptyset$

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}} x ， x > 0 \\ a \cdot {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f [f (x)] = 0$ 有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{3}} x ， x > \frac{1}{3} \\ a \cdot {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \leq \frac{1}{3} \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是严格减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\sqrt[3]{3} ， + ∞)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $[\sqrt[3]{3} ， 3)$ D、 $[\sqrt[3]{3} ， + ∞)$

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三、解答题

21. 设全集为 $R$ ，已知 $A = {x | \frac{x - 3}{x + 1} > 0}$ ， $B = {x | 2 - a < x < 2 a + 3}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $\bar{A} ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = R$ ，求实数a的取值范围．

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22. 设函数 $y = f (x)$ ，且 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 2 | ， x \geq 1 \\ | \frac{x}{x - 1} | ， x < 1 \end{array}$ ；

(1)、作出函数 $y = f (x)$ 的大致图像，并指出它的单调区间；

(2)、当实数a变化时，讨论关于x的方程 $f (x) = a$ 的解的个数．

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23. 设函数 $y = f (x)$ ，且 $f (x) = | x^{2} - 1 | - 1$ ．

(1)、作出函数 $y = f (x)$ 的大致图像，并指出它的单调区间；

(2)、当实数a变化时，讨论关于x的方程 $f (x) = a$ 的解的个数．

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24. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为 $x (x ≥ 0)$ （单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为 $\frac{x}{2}$ （单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为 $\frac{k}{10 x + 40}$ （ $x \geq 0$ ， k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．

(1)、求k的值，并写出函数 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．

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25. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (1 - x) - l o g_{2} (1 + x)$ ， $g (x) = 4^{x} + 2^{x + 1} m - m + 1$ ．

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性与单调性，并说明理由；

(2)、若对满足 $f (p) + f (q) = 0$ 的实数p、q，都有 $g (p) + g (q) \geq 0$ ，求实数m的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (1 - x) - l o g_{2} (1 + x)$ ， $g (x) = 4^{x} + 2^{x + 1} m - m + 1$ ．

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性与单调性，并说明理由；

(2)、若 $g (x) \geq 0$ 对任意 $x \in [0 ， + \infty)$ 都成立，求实数m的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、若不等式 $x^{2} f (x) + 1 \geq x^{3} + k x$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时恒成立，求实数k的最大值；

(3)、设 $g (x) = t \cdot f (x) + 1$ （ $x \in [\frac{1}{m} ， \frac{1}{n}]$ ， $m > n > 0$ ， $t > 0$ ），若函数 $y = g (x)$ 的值域为 $[2 - 3 m ， 2 - 3 n]$ ，求实数t的取值范围．

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28. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x) \cdot f (- x) = 1$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“倒函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ 和 $g (x) = 3^{x + 1}$ 是否为倒函数，并说明理由；

(2)、若 $φ (x) = {[p (x)]}^{q (x)}$ （ $p (x)$ 恒为正数），其中 $p (x)$ 是偶函数， $q (x)$ 是奇函数，求证： $φ (x)$ 是倒函数；

(3)、若 $h (x) = \sqrt{x^{2} + m} + n x (n > 0)$ 为倒函数，求实数m、n的值；判定函数 $y = h (x)$ 的单调性，并说明理由．

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