山西省太原市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 把 $6 0^{∘}$ 化为弧度是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{5}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2. 若 $\sin θ > 0$ ， $\tan θ < 0$ ，则 $θ$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{l o g_{2} (x - 1)}$ 的定义域是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = t a n 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数 B、 $f (x)$ 是最小正周期为 $2 π$ 的偶函数 C、 $f (x)$ 是最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、 $f (x)$ 是最小正周期为 $2 π$ 的奇函数

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5. $s i n 4 5^{∘} c o s 1 5^{∘} - c o s 4 5^{∘} s i n 1 5^{∘} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
10
8
-3
2
-7
-9
则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(1 ， 6)$ 内恰有3个零点 B、 $f (x)$ 在 $(1 ， 6)$ 内至少有3个零点 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， 6)$ 内最多有3个零点 D、以上结论都不正确

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7. 设 $a = s i n 43 °$ ， $b = c o s 46 °$ ， $c = t a n 46 °$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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8. 为得到 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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9. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{array}$ 若关于的方程 $f (x) = k$ 恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）

A、{-1} B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 ${- 1} \cup (0 ， + \infty)$

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10. 已知 $s i n (α + 6 0^{∘}) = \frac{4}{5}$ ， $3 0^{∘} < α < 12 0^{∘}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $- \frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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11. 人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从 $T B$ （ $1 T B = 1024 G B$ ）级别跃升到 $P B$ （ $1 P B = 1024 T B$ ）， $E B$ （ $1 E B = 1024 P B$ ）乃至 $Z B$ （ $1 Z B = 1024 E B$ ）级别.国际数据公司（IDC）统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：
时间/年
2008
2009
2010
2011
数据量/ $Z B$
0.49
0.8
1.2
1.82
增长比例
1.63
1.50
1.52
研究表明，从2008年起，全球产生的数据量y（单位： $Z B$ ）与时间x（单位：年）的关系满足函数 $y = a b^{x}$ ，记 $b_{1} = \frac{1}{4} \times (0.49 + 0.8 + 1.2 + 1.82)$ ， $b_{2} = \frac{1}{3} \times (1.63 + 1.50 + 1.52)$ ，则下列最符合上述数据信息的函数是（）

A、 $y = 0.49 {b_{1}}^{x}$ B、 $y = 0.49 {b_{1}}^{x - 2008}$ C、 $y = 0.49 {b_{2}}^{x}$ D、 $y = 0.49 {b_{2}}^{x - 2008}$

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12. 函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) - s i n (\frac{π}{6} - 2 x) (0 \leq x \leq \frac{π}{2})$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1 - \sqrt{3}}{2} ， \sqrt{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{3} - 1}{2} ， \sqrt{2}]$ C、 $[\frac{1 - \sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3} - 1}{2}]$ D、 $[\frac{1 - \sqrt{3}}{2} ， 2]$

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二、填空题

13. $s i n (- 30 °) =$ .

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14. 某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为.

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15. 已知实数 $x_{1}$ 满足 $x + l n x = 2$ ， $x_{2}$ 满足 $l n (1 - x) = x + 1$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 ω x + 1 (ω > 0)$ 在区间 $(π ， \frac{3 π}{2})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $l o g_{3} 15 - l o g_{3} 10 + \frac{1}{2} l o g_{3} 4$ ；

(2)、 $l o g_{3} 2 \cdot l o g_{2} (l o g_{2} 8) \cdot e^{l n 2}$ .

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18. 已知 $s i n α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ .

(1)、求 $c o s α$ ， $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (3 π + α)}{c o s (\frac{π}{2} - α) t a n (π - α)}$ 的值.

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19. 已知 $c o s α - s i n α = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $\frac{5 π}{4} < α < \frac{7 π}{4}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $s i n 2 α$ ；

(2)、 $c o s α + s i n α$ ；

(3)、 $\frac{s i n 2 α - 2 s i n^{2} α}{1 + t a n α}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) + s i n (2 x - \frac{π}{6}) + 2 c o s^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的周期；

(2)、求使 $f (x) \geq 2$ 成立的x的取值集合.

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21. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) + s i n (2 x - \frac{π}{6}) + 2 c o s^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、求证： $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{1 + x}{1 - x}$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、求不等式 $f (x^{2} + x - 1) + f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x) > 0$ 的解集.

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23. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (1 + x)$ ， $g (x) = l o g_{a} (1 - x)$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）， $h (x) = f (x) - g (x)$ .

(1)、求证：函数 $h (x)$ 是奇函数；

(2)、当 $a > 1$ 时，求不等式 $h (x^{2} + x - 1) + h (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x) > 0$ 的解集.

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时间/年	2008	2009	2010	2011
数据量/ $Z B$	0.49	0.8	1.2	1.82
增长比例		1.63	1.50	1.52