山西省怀仁市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列关系中正确的是（）

A、 $0 \subseteq {0}$ B、 $\emptyset$ ${0}$ C、 ${0 ， 1} \subseteq {(0 ， 1)}$ D、 ${(a ， b)} = {(b ， a)}$

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2. 已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）

A、m≥2 B、m≤2 C、m>2 D、－2<m<2

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3. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应有，0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，黄金分割比还可以表示成 $2 s i n 18 °$ ，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{2 c o s^{2} 27 ° - 1} =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{5} + 1$ C、2 D、 $\sqrt{5} - 1$

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4. 若 $c o s θ - 2 s i n θ = 1$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $0$ 或 $\frac{4}{3}$ D、 $0$ 或 $\frac{3}{4}$

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5. 已知 $y = l o g_{a} (8 - 3 a x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， \frac{4}{3})$ C、 $[\frac{4}{3} ， 4)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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6. 若 $sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (\frac{π}{3} + 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数．则实数 $m$ 的值为（）

A、2或-1 B、-1 C、2 D、-2或1

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8. 若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4 x}{y^{2}} = 2$ ，且不等式 $x + \frac{y^{2}}{4 x} < m^{2} - m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 + \infty)$

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9. 定义在R上的偶函数 $f (x) = e^{| x - k |} + x^{2}$ （其中e为自然对数的底），记 $a = f (l o g_{\frac{1}{2}} 3) ， b = f (l o g_{2} 5) ， c = f (k + 2)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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10. 已知函数 $y = \sin a x + b (a > 0)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \log_{a} (x - b)$ 的图象可能（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{matrix}$ $g (x) = f (x) + x + a$ ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）

A、[–1，0） B、[0，+∞） C、[–1，+∞） D、[1，+∞）

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12. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ），M是函数 $f (x)$ 图象的一个最高点，K，N是函数图象上与它距离最近的两个对称中心， $Δ K M N$ 是边长为1的正三角形， $f (1) = \frac{3}{4}$ ，若函数 $f (x + t)$ 为偶函数，则 $| t |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x \geq 2 \\ f (x + 1) ， x < 2 \end{array}$ ，则 $f (0) =$ ．

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14. $\frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} - \frac{1}{\sin 170 °} =$ .

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15. 将函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移1个单位．得到 $g (x)$ 的图象．若 $g (x_{1}) \cdot g (x_{2}) = 9$ 且 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 π ， 2 π]$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有且仅有3个零点，下述四个结论：
①在区间 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ ；
② $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有且仅有2个极大值点；
③ $ω$ 的取值范围是 $(2 ， \frac{8}{3}]$ ；
④ $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增.
其中所有正确结论的编号是.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 20 < 0} ， B = {x | - 3 < x < 6} ， C = {x | m - 1 \leq x \leq 2 m + 1 ， m \in R}$ ．

(1)、求集合 $A ∩ B ， A ∪ B$ ；

(2)、若 $C \subseteq (A ∩ B)$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知顶点在坐标原点，始边在 $x$ 轴正半轴上的锐角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $A (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，将角 $α$ 的终边绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 得到角 $β$ 的终边.

(1)、求 $\frac{s i n 2 α}{2 c o s α - s i n^{2} α}$ 的值；

(2)、求 $s i n β c o s φ$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{x} - 1)$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a > 1$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < f (1)$ 的解集；

(3)、当 $a = 2$ 时，若不等式 $f (x) - \log_{2} (1 + 2^{x}) > m$ 对任意实数 $x \in [1 ， 3]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、判断 $f (x)$ 奇偶性；

(2)、用定义讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 的单调性；

(3)、当 $a > 1$ 时，求关于x的不等式 $f (x^{2} - 1) + f (x) > 0$ 的解集．

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21. 如图所示，将一矩形花坛 $A B C D$ 扩建成一个更大的矩形花坛 $A M P N$ ，要求 $B$ 点在 $A M$ 上， $D$ 点在 $A N$ 上，且对角线 $M N$ 过 $C$ 点，已知 $A B = 3$ 米， $A D = 4$ 米.

(1)、要使矩形 $A M P N$ 的面积大于50平方米，则 $D N$ 的长应在什么范围？

(2)、当 $D N$ 的长为多少米时，矩形花坛 $A M P N$ 的面积最小？并求出最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(3)、求证：存在大于 $\frac{π}{3}$ 的正实数 $x_{0}$ ，使得不等式 $\frac{| f (x) |}{l n x} > 2 \sqrt{3}$ 在区间 $(x_{0} ， \sqrt{e})$ 有解．（其中e为自然对数的底数）

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