山西省大同市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{-1} B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 3}$

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2. 已知 $f (\frac{1}{2} x - 1) = 2 x + 3 ， f (m) = 6$ ,则 $m$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 设命题 $p ： \exists x \in Z ， x^{2} \geq 2 x + 1$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \notin Z ， x^{2} < 2 x + 1$ B、 $\forall x \in Z ， x^{2} < 2 x + 1$ C、 $\exists x \notin Z ， x^{2} < 2 x + 1$ D、 $\exists x \in Z ， x^{2} < 2 x$

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4. 若函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ，则以下函数为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 2$ B、 $f (x - 1) + 2$ C、 $f (x + 1) + 2$ D、 $f (x + 1) - 2$

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5. 已知 $c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 若正数a，b满足a+b=2，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{9}{4}$ C、9 D、16

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7. 函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = | l g x | - {(\frac{1}{3})}^{x}$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则下列关系式正确的是（）

A、 $0 < x_{1} x_{2} < 1$ B、 $x_{1} x_{2} = 1$ C、 $1 < x_{1} x_{2} < 2$ D、 $x_{1} x_{2} \geq 2$

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二、多选题

9. 下列计算或化简结果正确的是（）

A、 $\frac{2 t a n α c o s α}{s i n α} = 2$ B、若 $s i n α \cdot c o s α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n α + \frac{c o s α}{s i n α} = 2$ C、若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 s i n α}{c o s α - s i n α} = 1$ D、若 $α$ 为第一象限角，则 $\frac{c o s α}{\sqrt{1 + c o s 2 α}} + \frac{s i n α}{\sqrt{1 - c o s 2 α}} = \sqrt{2}$

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10. 下列四个选项中， $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件的是（）

A、 $p$ ： $x > y$ ， $q$ ： $x^{3} > y^{3}$ B、 $p$ ： $x > 3$ ， $q$ ： $x > 2$ C、 $p$ ： $2 < a < 3$ ， $- 2 < b < - 1$ ， $q$ ： $2 < 2 a + b < 5$ D、 $p$ ： $a > b > 0$ ， $m > 0$ ， $q$ ： $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$

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11. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则对函数 $g (x)$ 的描述正确的是（）

A、 $[- \frac{5 π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 为函数 $g (x)$ 的一个递增区间 B、 $x = \frac{π}{3}$ 为函数 $g (x)$ 的一条对称轴 C、 $(\frac{4 π}{3} ， 0)$ 为函数 $g (x)$ 的一个对称点 D、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $T = 4 π$

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12. 以下函数的最小值为 $2 \sqrt{2}$ 的是（）

A、 $y = x + \frac{2}{x}$ ， $x > 0$ B、 $y = s i n x + \frac{2}{s i n x}$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ D、 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

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三、填空题

13. 若 $f (α) = \frac{s i n (- α - \frac{3 π}{2}) c o s (\frac{3 π}{2} - α) t a n^{2} (π - α)}{c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (π + α)}$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 1) + b$ 恒过定点 $(0 ， 2)$ ，则函数 $f (x) = | x + b |$ 的单调递增区间为．

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15. 若函数 $f (x) = {log}_{4} (4^{x} + 1) - k x$ 为偶函数，则 $k =$ .

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x + 2 a ， (x < 1) \\ l n x + 1 ， (x \geq 1) \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 计算下列各式：

(1)、 $l g 25 + l g 2 \cdot l g 50 + {(l g 2)}^{2}$ ；

(2)、 ${(- \frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(0.002)}^{- \frac{1}{2}} - 10 {(\sqrt{5} - 2)}^{- 1} + {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{0} - {(\frac{3}{2})}^{- 2}$ .

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18. 设函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、若对于一切实数 $x$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解不等式 $f (x) < (m - 1) x^{2} + 2 x - 2 m - 1$ ．

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19. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x + m$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in R$ 时， $f (x)$ 的最小值为1，求函数 $f (x)$ 的最大值及对应的 $x$ 的值.

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20. 第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为 $C (x)$ 万元，其中 $C (x)$ 与x之间的关系为： $C (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} x^{2} + 20 x ， 0 < x < 60 ， x \in N^{*} \\ 50 x + \frac{49000}{x - 2} - 1980 ， x \geq 60 ， x \in N^{*} \end{array}$ ，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．

(1)、写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)、年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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