2.2基本不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）

试卷更新日期：2022-07-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 正实数a，b满足ab=1，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、5 D、8

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2. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 和实数 $t$ 满足 $4 a^{2} + 2 t a b + b^{2} = 4$ ，若 $2 a + b$ 存在最大值，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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3. 若正数 $a ， b$ 满足 $a + b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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4. 已知a， $b \in (0 ， + \infty)$ ，且 $a^{2} + 3 a b + 4 b^{2} = 7$ ，则a+2b的最大值为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 5}{x - 2} (x \geq \frac{5}{2})$ 有（）

A、最大值 $\frac{5}{2}$ B、最小值 $\frac{5}{2}$ C、最大值2 D、最小值2

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6. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $a + 2 b = 5$ ，则 $\frac{(a + 1) (2 b + 1)}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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7. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a b \geq \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 3$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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8. 已知正实数x，y，则“ $x + y = 1$ ”是“ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ⩾ 4$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 若 $a > 1$ ， $b < 2$ ，则（）

A、 $a - b > - 1$ B、 $(a - 1) (b - 2) < 0$ C、 $a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值为 $2$ D、 $\frac{1}{2 - b} \geq b$

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10. 对任意x，y， $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ ，则（）

A、 $x + y \leq 1$ B、 $x + y \geq - 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 2$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 1$

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11. 若 $- 1 < a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ C、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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12. 已知 $a > b > 0$ ， $a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 5$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $1 < a + b < 4$ B、 $(\frac{1}{a} + b) (\frac{1}{b} + a) \geq 4$ C、 ${(\frac{1}{a} + b)}^{2} > {(\frac{1}{b} + a)}^{2}$ D、 ${(\frac{1}{a} + a)}^{2} > {(\frac{1}{b} + b)}^{2}$

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三、填空题

13. 已知 $x > 2$ ，则 $\frac{4}{x - 2} + x$ 的最小值是．

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14. 已知正实数x，y满足： $x^{2} + x y + \frac{2 x}{y} = 2$ ，则 $3 x + 2 y + \frac{2}{y}$ 的最小值为．

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15. 已知正实数 $a ， b$ ，满足 $3 a + b = 2$ ，则 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{9}{b})$ 的最小值为.

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a + 3 b} + \frac{1}{2 a + b}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ .

(1)、若菜园面积为 $18 m^{2}$ ，则 $x$ ， $y$ 为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)、若使用的篱笆总长度为 $15 m$ ，求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y + 1}$ 的最小值.

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18.

(1)、已知 $x > 3$ ，求 $x + \frac{9}{x - 2}$ 的最小值；

(2)、已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $3 x + 2 y - 1 = 0$ ，证明： $\frac{1}{3 x} + \frac{1}{2 y} \geq 4$ ．

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 \leq 0}$ ．集合 $B = {x | \frac{x - 1}{x - 6} < 0}$ ，设集合 $I = (∁_{R} A) ∩ B$ ．

(1)、求I；

(2)、当 $x \in I$ 时，求函数 $f (x) = x + \frac{9}{x - 1}$ 的最小值．

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20.

(1)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + 8 y - x y = 0$ ，求 $x + y$ 的最小值，及此时x、y的值；

(2)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + 8 y - x y = 0$ ，求 $x y$ 的最小值，及此时x、y的值．

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21. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ .

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值.

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22. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足

(1)、 $2 x + 3 y = 10$ ，求 $x y$ 的最大值；

(2)、 $x > y$ 且 $x + y = 2$ ，求 $\frac{4}{x + 3 y} + \frac{1}{x - y}$ 的最小值．

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