2022-2023初数北师大版八年级上册2.7 二次根式同步练习

试卷更新日期：2022-07-23 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列各式是二次根式的个数有 $\sqrt{3}$ ； $\sqrt{- 5}$ ； $\sqrt{a^{2}}$ ； $\sqrt{x - 1}$ （ $x \geq 1$ ）； $\sqrt[3]{27}$ ； $\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}$ （）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \geq 1$ D、 $x > 0$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = 3$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2} = \sqrt{3 \times 2}$

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4. 下列为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\sqrt{0.5}$ D、 $\sqrt{12}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{8}$ B、 $6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 4$ C、 $4 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{6}$ D、 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$

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6. 计算 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7. 计算： $(3 \sqrt{48} - 2 \sqrt{27}) \div \sqrt{3} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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8. 已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2} ， y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，则 $x^{2} y + x y^{2} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $10 + 2 \sqrt{6}$ D、 $5 + \sqrt{6}$

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9. 当 $m < 0$ 时，化简二次根式 $\frac{m}{n} \sqrt{\frac{n}{m}}$ ，结果正确的是（）

A、 $n \sqrt{m n}$ B、 $- n \sqrt{m n}$ C、 $\frac{1}{n} \sqrt{m n}$ D、 $- \frac{1}{n} \sqrt{m n}$

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10. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 $A B C D$ ，它的面积是75， $A E = 3 \sqrt{3}$ ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ 的倒数是．

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12. 当 $a = 3 \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{8}$ 时，则 $a + b$ 的值为.

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13. 若长方形的周长是 $(30 + 16 \sqrt{5}) c m$ ，一边长是 $(\sqrt{5} - 2) c m$ ，则它的面积是 $c m^{2}$ ．

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14. 若y＝ $\sqrt{3 - x}$ + $\sqrt{x - 3}$ +4，则x²+y²的算术平方根是．

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15. 若x，y是实数，且 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 3$ ，则 $\frac{1}{2} \sqrt{x y}$ 的值为 .

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16. 实数 $a$ 在数轴上的位置如下图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} - a$ 等于

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三、解答题（共8题，共52分）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{32}$ ÷ $\sqrt{2}$ －(π－1)⁰；

(2)、( $\sqrt{7}$ ＋2)²＋( $\sqrt{7}$ ＋1)( $\sqrt{7}$ －1)

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{45} \times \sqrt{\frac{6}{5}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{48}}{\sqrt{2}}$ ；

(2)、 $\sqrt{20} - {(2 - \sqrt{5})}^{2} + 10 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ．

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19. 已知 $x = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{x^{2} - 6 x + 7}{x - 3}$ 的值．

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20. 先化简，再求值：如果a＝2+ $\sqrt{3}$ ，b＝ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $\sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ 的值．

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21. 已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 $\sqrt{{(a - b)}^{2}} + | c - b | - {(\sqrt[3]{a + c})}^{3}$ .

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22. 先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.

例如： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{3 + 2 \times 1 \times \sqrt{2}} = \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

$= \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = | 1 + \sqrt{2} | = 1 + \sqrt{2}$ .

解决问题：化简下列各式

(1)、 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ；

(2)、 $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}}$ .

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23. 阅读下面问题：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ＝ $\frac{1 \times (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$ ＝ $\sqrt{2}$ －1；
1/ $\sqrt{3}$ ＋ $\sqrt{2}$ ＝1×( $\sqrt{3}$ － $\sqrt{2}$ )/ ( $\sqrt{3}$ ＋ $\sqrt{2}$ )/ ( $\sqrt{3}$ － $\sqrt{2}$ )＝ $\sqrt{3}$ － $\sqrt{2}$ ；
1/ $\sqrt{4}$ ＋ $\sqrt{3}$ ＝1×( $\sqrt{4}$ － $\sqrt{3}$ )/ ( $\sqrt{4}$ ＋ $\sqrt{3}$ )/ ( $\sqrt{4}$ － $\sqrt{3}$ )＝ $\sqrt{4}$ － $\sqrt{3}$ ；
试求：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ＝；

(2)、当n为正整数时， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ＝；

(3)、求 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ ＋ $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ ＋ $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}$ ＋…＋ $\frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}}$ ＋ $\frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ 的值．

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24. 观察下列等式：
$a_{1} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；

$a_{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ ；

$a_{3} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ ；

$a_{4} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{7}}{2} \dots \dots$

按照上述规律，回答以下问题：

(1)、请写出第6个等式：；

(2)、请写出第n个等式：；

(3)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{20}$ 的值．

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2022-2023初数北师大版八年级上册2.7 二次根式 同步练习

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共52分）

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