山东省泰安市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{-1} B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 3}$

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2. “对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} \geq 0$ ”的否定形式为（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} < 0$ B、不存在 $x \in R$ ，都有 $x^{2} < 0$ C、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} \geq 0$ D、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} < 0$

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，那么“ $3^{a} < 3^{b}$ ”是“ $l o g_{\frac{1}{3}} a > l o g_{\frac{1}{3}} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{6}{x} - {log}_{2} x$ ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）

A、(0，1) B、(1，2) C、(2，4) D、(4，＋∞)

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5. 将函数 $y = c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $y = f (x) \cdot s i n x$ 的图象，则 $f (x)$ 的表达式可以是（）

A、 $f (x) = - 2 c o s x$ B、 $f (x) = 2 c o s x$ C、 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} s i n 2 x$ D、 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} (s i n 2 x + c o s 2 x)$

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6. 若函数 $y = {log}_{a} x (a > 0 ，且 a \neq 1)$ 的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 $p$ ，第二年的增长率为 $q$ ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A、 $\frac{p + q}{2}$ B、 $\frac{(p + 1) (q + 1) - 1}{2}$ C、 $\sqrt{p q}$ D、 $\sqrt{(p + 1) (q + 1)} - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = m s i n ω x + 2 c o s ω x (m \neq 0 ， ω > 0)$ 的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{6}$ ，且 $f (0) + f (\frac{π}{9}) = 6$ ，则函数 $f (x)$ 在下列区间上单调递减的是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{4})$ B、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ D、 $(- \frac{5 π}{6} ， - \frac{2 π}{3})$

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二、多选题

9. 已知a，b，c满足 $c < b < a$ ，且 $a c < 0$ ，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $\frac{1}{a} - \frac{1}{c} > 0$ C、 $c b^{2} < a b^{2}$ D、 $a c (a - c) < 0$

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10. 已知 $s i n α > 0$ ， $t a n α < 0$ ，则（）

A、 $\frac{π}{2} < α < π$ B、 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 C、 $s i n 2 α < 0$ D、若 $s i n α = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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11. 下图是函数 $y = s i n (ω x + φ)$ 的部分图象，则 $s i n (ω x + φ) =$ （）

A、 $s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $s i n (\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $c o s (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $c o s (\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 最多有两个零点 C、 $f (l o g_{0.5} 3) > f (l o g_{2} 5)$ D、若实数a满足 $f (2^{a}) > f (- \sqrt{2})$ ，则 $a < \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 若 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6}$ ，则 $tan α =$ .

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14. 已知 $sin α - cos α = \frac{4}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ ．

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15. 若 $l o g_{4} (3 a + 4 b) = l o g_{2} \sqrt{a b}$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a \cdot 2^{x} ， x \geq 0 \\ 2^{- x} ， x < 0 \end{array} (a \in R)$ ，且 $f (f (- 1)) = 1$ ，则 $a =$ ；若 $f (f (m)) = 4$ ，则 $m =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 4 \leq 2^{x} \leq 16}$ ， $B = {x | 5 - 2 m \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A ∩ B$ ， $A ∪ B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数m的取值范围.

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18. 已知关于x的不等式 $x^{2} - 2 a x - 8 a^{2} < 0$ ， $a > 0$ .

(1)、若 $a = \frac{5}{2}$ ，解不等式；

(2)、若不等式的解集为 $(x_{1} ， x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{2} - x_{1} \leq 12$ .求a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期：

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 + x) - l o g_{a} (2 - x)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并予以证明；

(3)、求使 $f (x) > 0$ 的x的取值范围.

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21. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x米，总造价为y元.

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、证明：函数 $y = f (x)$ 在 $[10 ， 20]$ 上单调递增；

(3)、当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价.

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22. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $t a n α = \frac{4}{3}$ ， $c o s (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\frac{s i n α (s i n 2 α - c o s^{2} α)}{2 c o s α - s i n α}$ 的值；

(2)、求 $s i n (α - β)$ 的值.

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