吉林省延边州2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | | x | < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、{0}

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} > 1$ C、 $\exists x_{0}^{*} \in R$ ， $x_{0}^{2} < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \geq 1$

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3. 已知 $1 \leq a \leq 2$ ， $- 1 \leq b \leq 4$ ，则 $a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $- 7 \leq a - 2 b \leq 4$ B、 $- 6 \leq a - 2 b \leq 9$ C、 $6 \leq a - 2 b \leq 9$ D、 $- 2 \leq a - 2 b \leq 8$

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4. 已知 $x > 2$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{2 (x - 2)} - 2$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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5. 下列函数在 $[- 1 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x^{2} - 3 x$ B、 $f (x) = - | 2 x + 1 |$ C、 $f (x) = s i n x$ D、 $f (x) = 1 + 4^{x}$

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6. 若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则函数 $y = f (x) + 1 - x$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、2 D、3

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7. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $(2 a + 1 ， a - 2)$ ，且 $c o s θ = \frac{3}{5}$ ，则实数的a值是（）

A、-2 B、 $\frac{2}{11}$ C、-2或 $\frac{2}{11}$ D、1

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8. 已知 $y = f (x)$ 是奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x (1 + x)$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x (1 - x)$ B、 $- x (1 + x)$ C、 $- x (1 - x)$ D、 $x (1 + x)$

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9. 函数 $f (x) = l o g_{2} x - \frac{3}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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10. 下列关于函数 $f (x) = 2 s i n (4 x + \frac{π}{6})$ 的图象，说法正确的是（）

A、关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = - \frac{π}{24}$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称

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11. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，若过滤过程中剩余的废气污染物数量P（单位： $m g / L$ 与时间t（单位：h）之间的关系为 $P = P_{0} e^{- 0.08 t}$ ，其中 $P_{0}$ 为过滤未开始时废气的污染物数量，则污染物减少75%大约需要的时间为（）（参考值 $l n 2 \approx 0.69$ ）

A、20 $h$ B、17 $h$ C、14 $h$ D、22 $h$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x} + l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 2$ ，则关于x的不等式 $f (3 x - 1) + f (x) > 4$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{10 - 2 x} + l g (2^{x} - 8)$ 的定义域是.

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14. 若不等式 $a x^{2} + 5 x + 1 \leq 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq - \frac{1}{3}}$ ，则不等式 $\frac{3 x - a}{x - 3} < 0$ 的解集为.

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15. 函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ 的单调递增区间为.

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16. 已知 $f (x)$ 为偶函数，函数 $g (x) = a f (x) - 1$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， 0 \leq x < 3 ， \\ 7 - {(\frac{1}{2})}^{x - 5} ， x \geq 3 . \end{array}$ 若 $g (x)$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. $A = {x | x^{2} + 2 x + a = 0}$ ， $B = {x | x^{2} + b x - 5 = 0}$ ， $A ∩ B = {1}$ ， $C = {2 ， - 3 ， - 5}$ .

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $(A ∪ B) ∩ C$ .

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18. 已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求下列各式的值：

(1)、 $a + a^{- 1}$ ；

(2)、 $a - a^{- 1}$ .

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19. 已知 $π < α < \frac{3 π}{2}$ ， $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $\frac{2 s i n^{2} α + s i n 2 α}{c o s 2 α}$ ；

(2)、 $t a n (α - \frac{3}{4} π)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[\frac{1}{8} ， 27]$ 上的最大值为3.

(1)、求实数a的值；

(2)、若 $a > 1$ ，求函数 $g (x) = a^{2 x} - 5 a^{x} + 4$ 的值域.

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21. 某商场某月1号至30号某款小商品的销售量（台）和价格（元）均为销售日期t（几号）的函数，已知销售量近似地满足 $f (t) = - 2 t + 100$ ，且1号至15号价格满足 $g (t) = \frac{1}{2} t + 15$ ， 16号至30号的价格满足 $g (t) = 15$ .

(1)、求该小商品的日销售额S（元）与销售日期t的函数关系；

(2)、求日销售额S（元）的最大值及此时t的值.

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22. 已知函数 $f (x)$ 对一切实数 $x ， y$ 都有 $f (x + y) - f (y) = x (x + 2 y + 1)$ 成立，且 $f (1) = 0$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $g (x) = \frac{8 x}{1 + x^{2}}$ ，若存在 $a \in R$ ，使得 $\forall x_{1} \in [0 ， + ∞) ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，有 $g (x_{1}) \leq f (x_{2}) - (2 a + 1) x_{2} + 3$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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