吉林省白山市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {x | x (x - 2) = 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 函数 $y = \sqrt{7 - x} + l n (x - 4)$ 的定义域为（）

A、 $(4 ， 7)$ B、 $(4 ， 7]$ C、 $(- \infty ， 7]$ D、 $(4 ， + \infty)$

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3. 已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（）

A、1 B、 $\frac{π}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. “ $α = - \frac{π}{6} + 2 k π (k \in Z)$ ”是“ $s i n α = - \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} | c o s x |$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $c o s (\frac{π}{8} - α) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{16}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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7. 要得到函数 $y = s i n (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需要将函数 $y = c o s 3 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{2 π}{9}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{2 π}{9}$ 个单位

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8. 假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为（）（参考数据：取 $1 g 2 = 0.3$ ， $l g 3 = 0.48$ ， $l g 21 = 1.32$ ）

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、多选题

9. 已知函数 $y = l o g_{a} (x - 4) - 12$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点P，且角 $θ$ 的终边经过P，则（）

A、 $P (4 ， - 12)$ B、 $s i n θ = - \frac{12}{13}$ C、 $c o s θ = - \frac{5}{13}$ D、 $t a n (θ + \frac{π}{4}) = - \frac{7}{17}$

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10. 若函数 $f (x) = e^{x}$ ，则下列函数为偶函数的是（）

A、 $y = f (x) - f (- x)$ B、 $y = f (| x |) + 1$ C、 $y = f (c o s x)$ D、 $y = f (x) + f (- x)$

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11. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = - \frac{π}{3}$ C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[- \frac{π}{12} + 2 k π ， \frac{5 π}{12} + 2 k π]$ （ $k \in Z$ ） D、 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}$ （ $k \in Z$ ）

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x > 1 \\ 2^{x} + a ， x \leq 1 \end{array}$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 4]$ B、当 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， 2]$ 时， $a \leq 1$ C、当 $1 \leq a \leq 3$ 时，函数 $g (x) = f (x) - 3$ 有2个零点 D、当 $a = 3$ 时，关于x的方程 $f (x) = \frac{7}{2}$ 有3个实数解

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三、填空题

13. 写出一个最小正周期为 $4 π$ 的奇函数： $f (x) =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(- 2 ， - 8)$ ，且 $f (a + 1) \leq - f (a - 3)$ ，则a的取值范围是.

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15. 若函数 $g (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) - 1$ （ $ω > 0$ ）的图象在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上恰有2个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 2$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为，此时 $a + b =$ .

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 $2 5^{\frac{1}{2}} - {(- 3)}^{2} \times {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{2}} + {(π - \sqrt{3})}^{0}$ ；

(2)、 $l o g_{6} 2 + l o g_{6} 3 + l g 0.001 + e^{l n 8}$

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18. 已知 $s i n (π + α) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角.

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n (α + 2020 π) + s i n (\frac{π}{2} - α)}{s i n α + 3 c o s (α - π)}$ 的值

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19. 某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产 $x (x \in N_{+})$ 件产品的总费用为y元.当 $x = 60$ 时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - s i n^{2} x + \frac{1}{2}$ ， $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{7 π}{12}]$ ．

(1)、求不等式 $f (x) ⩾ \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、求当 $f (x)$ 取得最大值、最小值时 $x$ 的值，并求最大值、最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 2) + l o g_{a} (1 - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $a = 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $f (x)$ 有最大值，且 $\forall x \in (- 2 ， 1)$ ， $\exists b \in [0 ， 1]$ ， $f (x) < 2^{2 b - 1}$ ，求a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | 4^{x} - a |$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 取得最小值．

(1)、求a的值；

(2)、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - t f (x) + 1$ 有4个零点，求t的取值范围．

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