湖南省郴州市2021-2022学年高一上学期数学期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x \geq 1} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{0} B、{1，2} C、{1} D、{0，1，2}

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2. $c o s 12 0^{∘}$ = （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} ， (x < 3) \\ l o g_{x} x ， (x \geq 3) \end{array}$ ，则 $f (1)$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、16 D、20

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5. 若 $a = 202 1^{0.2}$ ， $b = l o g_{0.2} 2021$ ， $c = 0 . 2^{2021}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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6. 函数 $f (x) = x \cdot c o s x$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 现将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = s i n (4 x - \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = s i n x$ C、 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{12})$ D、 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{6})$

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8. 函数 $f (x)$ 为偶函数，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则不等式 $f (2^{x} - 5) < f (3)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设 $a ， b ， c \in R$ ， $a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + c < b + c$ B、 $e^{- a} > e^{- b}$ C、 $a c^{2} < b c^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = l n (x^{2} - x)$ 的定义域为（1，+∞） B、命题“ $\forall x > 0 ， x^{2} + x > 0$ ”的否定是“ $\exists x > 0 ， x^{2} + x \leq 0$ ” C、“ $α$ 为锐角”是“ $s i n α > 0$ ”的必要不充分条件 D、方程 $l o g_{3} x + x - 3 = 0$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上有实数根

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11. 已知函数 $f (x) = | s i n x |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小值为0 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (- \frac{π}{6}) > f (- \frac{π}{7})$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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12. 已知函数f（x）对 $\forall x ， y \in R$ 都有 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ .则下列结论正确的是（）

A、f（x）为偶函数 B、若 $f (e) = 0$ ，则 $f (2 e) = 0$ C、 $f (2 x) = f^{2} (x) - 2$ D、若 $f (1) = 0$ ，则 $f (x + 4) = f (x)$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = k x^{α}$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则 $k + α$ =.

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14. 写出一个最小正周期为π的函数.

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15. 为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（ $10 \leq x \leq 300$ ）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：① $f (x) = k \cdot x + b$ ；② $f (x) = k \cdot l o g_{2} x + b$ ；③ $f (x) = k \cdot x^{2} + b$ .其中 $k > 0 ， b \in R$ .请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为千元.

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16. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x - φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图像如图所示，设函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{6}) + f (2 x + \frac{π}{6})$ ，则 $g (x)$ 的值域为.

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四、解答题

17.

(1)、求值： $8^{\frac{1}{3}}$ $+ l g 2 + l g 50 + 2^{l o g_{2}^{} 3}$ ；

(2)、已知x是第三象限角，且 $t a n x = 2$ ， $f (x) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + x) c o s (- x)}{s i n (π - x)}$ ，先化简 $f (x)$ ，再求 $f (x)$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x ∣ 2 < x \leq 6} ， B = {x ∣ 0 < x < 4} ， C = {x ∣ m + 1 < x < 2 m - 1}$ .

(1)、求 $A ∪ B$ ， $∁_{R} (A ∩ B)$ ；

(2)、 $B ∩ C = C$ ，求实数m的取值范围.

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19. 已知 $a > 0 ， a \neq 1$ ，且 $l o g_{a} 10 > 1$ ，若函数 $f (x) = l o g_{a} x$ 在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)、求a的值；

(2)、解不等式 ${(\frac{1}{3})}^{x^{2} - a x} > \frac{1}{27}$ ；

(3)、求函数 $g (x) = l o g_{a} (x^{2} - 2 x)$ 的单调区间.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 c o s x (s i n x + \sqrt{3} c o s x) - \sqrt{3}$

(1)、求f（x）的最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数f（x）的值域.

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21. 习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山.绿水青山就是金山银山.”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润 $f (x)$ （万元）与年产量x（吨）之间的函数关系为： $f (x) = {\begin{array}{l} - 0.1 x^{2} + 20 x - 700 (x > 60) \\ 4 x - 100 (0 < x \leq 60) \end{array}$

(1)、求该工厂利润最大时的年产量x（吨）的值，并求出最大利润；

(2)、某项环境污染物指数y（ $p p m$ ）与年产量x（吨）和环境治理费t（万元）之间的关系为： $y = e^{\frac{\sqrt{x}}{1 + l n (t + 1)}} - 1$ .其中 $y_{0} = 6.39 p p m$ 为污染物指数安全线.该工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安全线，则至少需要投入多少万元环境治理费？
参考： $e = 2.71818 ⋯ ， e^{2} \approx 7.39 ， e^{3} \approx 20.09 ， e^{4} \approx 54.60$ ， $p p m$ 是百万分比浓度

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22. 对于定义域为D的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m ， n] \subseteq D$ ，同时满足：① $f (x)$ 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时， $f (x)$ 的值域也是[m， $n]$ ；则称[m，n]是该函数的“美好区间”.

(1)、判断函数 $f (x) = | 3 - \frac{1}{x} | (x > 0)$ 是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不存在，请说明理由；

(2)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + 4 a) x - 6}{a^{2} x} (a \in R ， a \neq 0)$ 有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出 $n - m$ 的最大值.

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