湖北省部分重点高中2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $A ∩ B = B$ B、 $A ∪ B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 $A ∩ B = {0 ， 1}$ D、 $A ∪ B = A$

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2. 若点 $P (- 3 ， 2 s i n \frac{π}{6})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $t a n α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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3. 若函数f(x)＝ax²＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2 a ， a]上的偶函数，则a-b＝（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知“ $\exists x \in R$ ，使得不等式 $x^{2} - 4 x - a - 1 < 0$ ”不成立，则下列a的取值范围（）

A、 $(- \infty ， - 5]$ B、 $(- \infty ， - 2]$ C、 $(- 5 ， + \infty)$ D、 $[- 5 ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = 3 x^{5} + x^{3} + 5 x + 2$ ，若 $f (a) + f (2 a - 1) > 4$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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6. 已知实数a的取值能使函数 $f (x) = 2^{(a - 1) x^{2} - x + 1}$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ ，实数b的取值能使函数 $g (x) = l o g_{2} (x^{2} - b x + 3)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{| x + 1 | - 1}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{6}{3^{x} + 3} + s i n π x$ ，则 $f (\frac{1}{1011}) + f (\frac{2}{1011}) + ⋯ + f (\frac{2021}{1011}) =$ （）．

A、2019 B、2021 C、2020 D、2022

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二、多选题

9. 德国数学家狄利克雷 $(1805 ~ 1859)$ 在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数 $D (x)$ ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的性质正确的有：（）

A、 $D (\sqrt{2}) = 0$ B、 $D (x)$ 的值域为 ${0 ， 1}$ C、 $D (x)$ 为奇函数 D、 $D (x - 1) = D (x)$

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10. 已知 $α \in R$ ， $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，那么 $t a n α$ 的可能值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + \infty)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (x \cdot y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (2) = - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{1}{2020}) + ⋯ + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2020) + f (2021) = 2021$ D、满足不等式 $f (\frac{1}{x}) - f (x - 3) \geq 2$ 的 $x$ 的取值范围为 $[4 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | + 2 ， 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 8 x + 15 ， x > 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有四个不同的根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 < k \leq 3$ B、 $2 x_{1} + x_{2} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} x_{2} (x_{3} + x_{4}) = 8$ D、 $x_{1} + 2 x_{2} > 3$

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三、填空题

13. 木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知 $O A = 0.6 m$ ， $A D = 1.4 m$ ， $∠ A O B = 100 °$ ，则该扇环形木雕的面积为 $m^{2}$ ．

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14. 若函数 $f (x) = a x + b (a > 0 ， b > 0)$ 在区间[1，2]上的最小值为3，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x (m > 0)$ 满足：① $\forall x \in [0 ， 2] ， f (x) \geq - 8$ ；② $\exists x_{0} \in [0 ， 2] ， f (x) = - 8$ ，则 $m$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = | 2^{- x} - 1 |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x \leq 2 \\ 3 - x ， x > 2 \end{array}$ ，且方程 $f (x) = m$ 有两个不同的解，则实数 $m$ 的取值范围为，方程 $g [f (x)] = m$ 解的个数为．

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四、解答题

17. 化简求值

(1)、 $(- 7)^{0} + 3^{- 2} \times 8 1^{\frac{1}{4}} + (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、若 $α = \frac{π}{3}$ ，求 $\frac{s i n (α - 2 π) c o s (\frac{π}{2} - α) t a n (3 π - α)}{c o s (π - α) s i n (\frac{9 π}{2} + α)}$ 的值

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (\frac{π}{6} - 2 x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值．

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19. 2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足： $5 \leq t \leq 20$ ， $t \in N$ ，平均每趟快递车辆的载件个数 $R (t)$ (单位：个)与发车时间间隔t近似地满足 $R (t) = {\begin{array}{l} 1618 - {(10 - t)}^{2} ， 5 \leq t < 14 \\ 1618 ， 14 \leq t \leq 20 \end{array}$ ，其中 $t \in N$ ．

(1)、若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值；

(2)、若平均每趟快递车辆每分钟的净收益 $S (t) = \frac{5 R (t) - 7770}{t} + 100$ (单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)．

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20. 已知函数 $f (x) = | 2 s i n x - 1 |$ ， $x \in [0 ， π]$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值及 $f (x)$ 取最大值时 $x$ 的值；

(2)、设实数 $a \in R$ ，求方程 $3 [f (x)]^{2} - 2 a f (x) + 1 = 0$ 存在8个不等的实数根时 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数f (x)＝x²－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．

(1)、若函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；

(2)、若对任意的x₁∈[-1，3]，总存在x₂∈[-1，3]，使得f (x₁)＝g(x₂)成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1 ， 1)$ ，且满足：对任意 $x ， y \in (- 1 ， 1)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ．

(1)、求证：函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若当 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x)$ <0，求证： $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减；

(3)、在（2）的条件下解不等式： $f (x^{2} + x - 1) + f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x) > 0$ ．

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