河南省南阳市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $A = {2 ， 4 ， 6}$ ， $B = {1 ， 3 ， 6 ， 7}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${2 ， 4}$ C、{5} D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 7}$

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2. 某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）

34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86

32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

A、25 B、23 C、12 D、0.7

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3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. “ $l o g_{2} a > l o g_{2} b$ ”是“ $2^{a} > 2^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $y = x + \frac{16}{x + 2} (x > - 2)$ 取最小值时 $x$ 的值为（）

A、6 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 \geq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) ∪ [2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 2)$

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7. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} = 5$ ， $s^{2} = 2$ B、 $\bar{x} = 5$ ， $s^{2} = 1.6$ C、 $\bar{x} = 4.9$ ， $s^{2} = 1.6$ D、 $\bar{x} = 5.1$ ， $s^{2} = 2$

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8. 已知函数 $c o s β = \frac{A C^{2} + 12}{8 A C}$ 为偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $f (3 - x) < 0$ 的解集为 $($ $)$

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(- \infty ， 2) ∪ (4 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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9. 某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（）

A、51，58 B、51，61 C、52，58 D、52，61

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10. 若函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{7}} (- x^{2} + 4 x + 5)$ 在区间 $(3 m - 2 ， m + 2)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4} ， 1]$ B、 $[\frac{4}{3} ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{4}{3} ， 2)$ D、 $(\frac{4}{3} ， 2)$

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11. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 $40 = 3 + 37$ ．在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于20的概率是（）
（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数．）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{17}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：① $y = f (x - 1)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称；②对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立．令 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = l o g_{\frac{1}{4}} 3$ ， $c = l o g_{8} 5$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $f (b) > f (c) > f (a)$ B、 $f (a) > f (b) > f (c)$ C、 $f (a) > f (c) > f (b)$ D、 $f (c) > f (b) > f (a)$

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二、填空题

13. 某高校甲、乙、丙、丁4个专业分别有150，150，400，300名学生．为了了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从这4个专业的学生中抽取40名学生进行调查，应在丁专业中抽取的学生人数为．

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14. 已知 $A$ ， $B$ 是相互独立事件，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (\bar{A} B) =$ ．

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15. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = f (l g x)$ 的定义域为．

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16. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x^{2} - 8 x + 7 ， x > 1 \end{array}$ ，则函数 $y = 3 {(f (x))}^{2} - f (x)$ 的零点个数为．

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三、解答题

17. 新冠病毒怕什么？怕我们身体的抵抗力和免疫力！适当锻炼，合理休息，能够提高我们身体的免疫力，抵抗各种病毒．某小区为了调查居民的锻炼身体情况，从该小区随机抽取了100为居民，记录了他们某天的平均锻炼时间，其频率分别直方图如下：

(1)、求图中 $a$ 的值和平均锻炼时间超过40分钟的人数；

(2)、估计这100位居民锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数．

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - (2 a - 1) x + a (a - 1) < 0}$ ， $B = {x | 6 x^{2} - 5 x + 1 \leq 0}$ ．

(1)、 $A ∩ B \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $p ： x \in A$ ， $q ： x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x)$ ，对任意的 $a$ ， $b \in R$ ，都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 2$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数；

(2)、若 $f (4) = 5$ ，解不等式 $f (m^{2} - m) < \frac{7}{2}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} \frac{x + 1}{x - 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，并判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、对于 $\forall x \in [3 ， 4]$ ，不等式 $f (x) \geq l o g_{3} \frac{m (x + 1)}{x^{2} - 2 x + 2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 甲乙两人用颗质地均匀的骰子（各面依次标有数字1、2、3、4、5、6的正方体）做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷，否则由对方接着投掷．第一次由甲投掷．

(1)、求第二次仍由甲投掷的概率；

(2)、求游戏的前4次中乙投掷的次数为2的概率．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ， $g (x) = x - 1$ ．

(1)、若函数 $h (x) = f (x) - λ g (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上存在零点，求正实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、若 $\exists x_{1}$ ， $x_{2} \in [a ， a + 1]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求正实数 $a$ 的取值范围．

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