河北省邢台市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6}$ ， $B = {0 ， 2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 6}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 2 ， 6}$ D、 ${0 ， 2 ， 3 ， 6}$

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2. $p ： - \frac{π}{3} < α < \frac{π}{3}$ ， $q ： 0 < α < \frac{π}{3}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = - l o g_{5} x - x + 3$ 的零点所在区间为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = x^{2} c o s x$ B、 $f (x) = x + x^{3}$ C、 $f (x) = | x | s i n x$ D、 $f (x) = x^{2} + c o s x$

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5. 已知 $s i n \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{2}}{5}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{16}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $- \frac{21}{25}$ D、 $\frac{21}{25}$

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6. 已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（）

A、36 B、42 C、49 D、56

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7. 已知 $a = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = 2 s i n \frac{2}{3}$ ， $c = 2^{- 0.1}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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8. 某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取 $l g 2 = 0.3$ ， $l g 3 = 0.48$ ）（）

A、2023年 B、2024年 C、2025年 D、2026年

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二、多选题

9. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x + 5$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $g (x) = x f (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 7$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + x - 5$

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10. 已知不等式 $x^{2} + 16 x + 2 < 0$ 的解集为 $(t a n α ， t a n β)$ ，则（）

A、 $t a n α + t a n β = 16$ B、 $t a n α t a n β = 2$ C、 $t a n (α + β) = 16$ D、 $\frac{s i n α c o s β + c o s α s i n β}{s i n α s i n β} = - 8$ .

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{13 π}{6}) + c o s (ω x - \frac{π}{3}) + 1 (0 < ω < 8)$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 3]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期可能为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象可能关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象可能关于点 $(- \frac{π}{36} ， 1)$ 对称

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x} + \frac{1}{4} a^{2} + \frac{5}{4} a ， x < 0 ， \\ - 3^{x} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{5}{4} a ， x > 0 ， \end{array}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $f (x)$ 在定义域上单调递减，则 $a \leq - 4$ C、当 $a \geq - 1$ 时，若 $f (- 2 x) > f (x + 3)$ ，则 $x \in (- 1 ， 0) \cup (0 ， + ∞)$ D、若函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 有2个零点，则 $- 3 < a < - 2$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = | \frac{1}{2} m | x^{m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $f (2) =$ ．

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14. 写出一个能说明“若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 4)$ ，则 $f (x)$ 为奇函数”是假命题的函数： $f (x) =$ ．

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15. 函数 $f (x) = \frac{1}{c o s^{2} x} + \frac{25}{s i n^{2} x}$ 的最小值为．

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16. 某挂钟秒针的端点A到中心点 $O$ 的距离为 $20 c m$ ，秒针均匀地绕点 $O$ 旋转，当时间 $t = 0$ 时，点A与钟面上标12的点 $B$ 重合，A与 $B$ 两点距离地面的高度差 $h (c m)$ 与 $t (s)$ 存在函数关系式，则解析式 $h (t) =$ ，其中 $t \in [0 ， 60]$ ，一圈内A与 $B$ 两点距离地面的高度差不低于 $30 c m$ 的时长为 $s$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a < x < 2 a}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 12 \geq 0}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A ∪ (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq ∁_{R} B$ ，求a的取值范围．

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18. 求值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + \frac{1}{2} \times {(0.25)}^{0} + \sqrt{{(3 - π)}^{2}}$ ；

(2)、 ${(l g 2)}^{2} + l g 5 (l g 5 + l g 2) + l g 2 \cdot l g 500 - 2 l g 2 + e^{l n 2}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位长度，向下平移1个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调区间.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - a x + a + 3)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为R，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 对 $x \in [2 ， 3]$ 恒成立，求a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - c o s^{2} \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} c o s (x + \frac{5 π}{4}) + \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $x \in (0 ， π)$ ，求 $f (x) ⩾ \frac{\sqrt{6}}{2}$ 的解集；

(2)、若 $α$ 为锐角，且 $f (α) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $t a n 2 α$ 的值.

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22. 已知二次函数 $f (x) = m x^{2} + b x - 1 (m \neq 0)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称，且关于x的方程 $f (x) + 2 = 0$ 有两个相等的实数根．

(1)、求函数 $g (x) = \frac{f (x) + 2}{x}$ 的值域；

(2)、若函数 $h (x) = f (l o g_{a} x) - l o g_{a} x^{4}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上有最小值﹣2，最大值7，求a的值．

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