黑龙江双鸭山市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-22 类型：期末考试

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一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1. 设集合 $M = {x | 4 \leq 2^{x} \leq 16}$ ， $N = {x | x (x - 3) < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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2. 设命题p： $\forall x \in R$ ， $(x - 1) (x + 2) > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $(x_{0} - 1) (x_{0} + 2) > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\frac{x_{0} - 1}{x_{0} + 2} \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $(x - 1) (x + 2) \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\frac{x_{0} - 1}{x_{0} + 2} \leq 0$ 或 $x_{0} = - 2$

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3. 已知 $P (A B) = \frac{1}{2}$ ， $P (A) = \frac{3}{5}$ ，则 $P (B | A)$ 等于（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 - Δ x) - f (3 + Δ x)}{Δ x} = 4$ ，则 $f^{'} (3) =$ （）

A、0 B、－2 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布 $N (9 ， 1^{2})$ ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（）
附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

A、14 B、16 C、30 D、32

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6. 已知数据 $(x ， y)$ 的三对观测值为（1，3），（3，5），（5，4），用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（）

A、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ B、 $y = \frac{1}{4} x + \frac{9}{4}$ C、 $y = \frac{1}{3} x + 3$ D、 $y = \frac{1}{4} x + \frac{13}{4}$

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7. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = 7^{0.01}$ ， $c = l o g_{9} 5 \times l o g_{5} 3$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = x y$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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9. 函数 $f (x) = \frac{s i n 2 x}{e^{x} - 1}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. “ $b \leq 1$ ”是“函数 $f (x) = {\begin{cases} b x + 2 ， x > 0 \\ \log_{2} (x + 2) + b ， 2 < x \leq 0 \end{cases}$ 是在 $(- 2 ， + \infty)$ 上的单调函数”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 下列结论正确的是（）

A、 $π^{2} > 2 e l n π$ B、 $π < e l n π$ C、 $e^{2} l n^{2} π > 4 π$ D、 $π^{e} < e^{2} l n π$

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12. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ．则函数 $y = 7 f (x) - x + 2$ 的所有零点之和为（）

A、7 B、14 C、21 D、28

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有种．

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14. 若函数 $f (\sqrt{x + 1}) = x - 1$ ，则 $f (x) =$ ．

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15. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ ，且对于 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则 $m =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x - 1$ ， $g (x) = \frac{a}{2} \ln x - x + 1$ ，若对任意 $x_{1} \in R$ 都存在 $x_{2} \in (1 ， e)$ 使 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会签约了50家赞助企业，为了解这50家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，剩下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占这剩下的企业数量的

\frac{3}{5}

，统计后得到如下

2 \times 2

列联表．

每天线上销售时间	每天销售额		合计
每天线上销售时间	不少于30万元	不足30万元	合计
不少于8小时	18
不足8小时
合计

参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、完成列联表，并依据小概率值

α = 0.001

的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？

(2)、按每天线上销售时间进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，再从这5家企业中抽取2家企业，求抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时的概率．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n} + b$ （b为常数）．

(1)、求b的值和数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 在区间 $[- 3^{m} ， 3^{m}] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 ${a_{m} c_{m}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $S A ⊥$ 面ABCD， $S A = A D = 2 B C = 2$ ，点F为线段SD中点

(1)、求证： $C F ∥$ 面SAB；

(2)、求异面直线FC与BD所成角的大小．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 a x^{2} + 1 (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最小值．

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21. 某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：

出行方式

步行

骑行

自驾

公共交通

比例

5%

25%

30%

40%

同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)、求m的值和这1200名乘客年龄的50%分位数；

(2)、用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + a \sqrt{x} - 2 x (a \in R)$ ．若函数 $f (x)$ 有两个不同零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} \cdot x_{2}^{2} > \frac{a^{2}}{4}$ ．

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出行方式	步行	骑行	自驾	公共交通
比例	5%	25%	30%	40%