2022-2023学年浙教版数学九年级上册第一章二次函数综合题加练

试卷更新日期：2022-07-22 类型：单元试卷

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一、综合题

1. 疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数 $y$ （单位：人）随时间 $x$ （单位：分钟）的变化情况如图所示，当 $0 \leq x \leq 10$ 时， $y$ 可看作是 $x$ 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为 $(10 ， 500)$ ；当 $10 < x \leq 12$ 时，累计人数保持不变.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人.校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？

(3)、在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

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2. 如图，抛物线 $y = m x^{2} + (m^{2} + 3) x - (6 m + 9)$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 $B (3 ， 0)$ ．

(1)、求m的值和直线 $B C$ 对应的函数表达式；

(2)、Q为抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点Q的坐标．

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3. 已知二次函数y＝x²﹣2x﹣3．

(1)、求出该二次函数图象顶点坐标；

(2)、求图象与两坐标轴的交点坐标；

(3)、结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

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4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 交y轴于点A，交x轴于点 $B (- 3 ， 0)$ 和点 $C (1 ， 0)$ .

(1)、求此抛物线的表达式.

(2)、若点P是直线 $A B$ 下方的抛物线上一动点，当 $△ A B P$ 的面积最大时，求出此时点P的坐标和 $△ A B P$ 的最大面积.

(3)、设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线 $A B$ 上确定一点H，使 $△ D H P$ 为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标.

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5. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与一直线相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $C (2 ， 3)$ 两点，与y轴交于点N，其顶点为D.

(1)、求抛物线及直线AC的函数表达式；

(2)、在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标.若不存在，请说明理由.

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6. 如图，已知抛物线y₁=ax²+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，-3)，直线 $y_{2} = \frac{3}{2} x - 1$ 交抛物线y₁=ax²+bx+c(a≠0)于点M，N(M在N的左侧)，抛物线顶点为P.

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求ΔPMN的面积；

(3)、若y₁<y₂≤0，则此时横坐标x的取值范围是(直接写出结果)

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7. 如图，直线y₁=kx+b与函数y₂= $\frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°，点D是线段AC上一点.

(1)、求k的值与一次函数的解析式.

(2)、若直线与反比例函数的另一支交于B点，直接写出y₁＜y₂自变量x的取值范围，并求出△AOB的面积.

(3)、若S_△COD：S_△AOC=2：3，求点D的坐标.

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8. 王大伯有一条渔船用于捕鱼和捕蟹作业，一年共安排20次出海作业，其中x次捕鱼，t次捕蟹 (x，t均为正整数，且x+t=20).每次捕鱼的平均收入y(单位：万元)与捕鱼次数x的关系为 $y = {\begin{matrix} x + 4 ， 1 \leq x \leq 10 \\ - \frac{1}{2} x + 19 ， 10 < x \leq 19 \end{matrix}$ ，每次捕蟹的平均收入p(单位：万元)与捕蟹次数t的关系如图所示.

(1)、求p关于t的函数解析式.

(2)、设王大伯捕鱼和捕蟹的年总收入为W(单位：万元)
①若x=8，W的值为；

②求W关于x的函数解析式.

(3)、王大伯一年的收入能否超过216万元? 若能，请写出如何安排捕鱼和捕蟹次数；若不能，请说明理由.

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9. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0 ）$ 和 $C (0 ， 3)$ 三点，其顶点为E，直线 $m / / y$ 轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P.

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、求 $t a n ∠ B E C$ 的值；

(3)、当直线m将 $△ B C E$ 的面积分成 $1 ： 2$ 两部分时，求点P的坐标.

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10. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - a x - 3$ 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且 $A B = 5$ ，直线 $y = k x + b (k > 0)$ 与二次函数的图象交于点M，N（点M在点N的右边），交y轴于点P，交x轴于点Q.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、若 $b = - 5$ ， $S_{△ O P Q} = \frac{25}{4}$ ，求直线 $M N$ 的解析式；

(3)、若 $b = - 3 k$ ，直线 $A N$ 与y轴相交于点H，求 $\frac{C P}{C H}$ 的取值范围.

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11. 如图抛物线y＝ax²+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2），动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线BC于点F，点P运动到B点即停止运动，连接CE，设点P运动的时间为t秒.

(1)、求抛物线y＝ax²+bx+c的表达式；

(2)、当t＝ $\frac{3}{2}$ 时，求△CEF的面积；

(3)、当△CEF是等腰三角形时，求出此时t的值.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．

(1)、试求抛物线的解析式；

(2)、直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m= $\frac{P M}{D M}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标．

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13. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + c$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $A (- 6 ， 0)$ ，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 2 \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $D$ 为点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点.

(1)、求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；

(2)、直线以每秒2个单位的速度沿 $x$ 轴的负方向平移，平移 $t$ （ $t > 0$ ）秒后，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $B^{'}$ .
①请直接写出点 $E$ 的横坐标为（用含字母 $t$ 的代数式表示）

②当点 $B^{'}$ 落在抛物线上时，请直接写出此时 $t$ 为秒，点 $B^{'}$ 的坐标为；

③点 $G$ 是第二象限内一点，当四边形 $E G A B^{'}$ 为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时 $t$ 为秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为.

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14. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过A（－3，0），B（1，0）两点，与 $y$ 轴交于点C，P为 $y$ 轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当正方形AMPN与△AOP面积之比为5∶2时，求点P的坐标；

(3)、当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ （x-1）²-2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．

(1)、直接写出A、B两点的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为12，求点C坐标；

(3)、在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C， $\frac{1}{2}$ （x-1）²-2＞mx+n时，直接写出x的取值范围．

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16. 阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x²+x﹣2=0的根的所在的范围．

第一步：画出函数y=2x²+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．

第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．

所以可确定方程2x²+x﹣2=0的一个根x₁所在的范围是0＜x₁＜1．

第三步：通过取0和1的平均数缩小x₁所在的范围；

取x= $\frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$ ，因为当x= $\frac{1}{2}$ 时，y＜0，

又因为当x=1时，y＞0，

所以 $\frac{1}{2}$ ＜x₁＜1．

(1)、请仿照第二步，通过运算，验证2x²+x﹣2=0的另一个根x₂所在范围是﹣2＜x₂＜﹣1；

(2)、在﹣2＜x₂＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x₂所在范围缩小至m＜x₂＜n，使得n﹣m≤ $\frac{1}{4}$ ．

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17. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 k g$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 $10$ 天的总成本为 $30.4$ 万元；放养 $20$ 天的总成本为 $30.8$ 万元（总成本 $=$ 放养总费用+收购成本）．

(1)、设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m (k g)$ ，销售单价为 $y$ 元 $/ k g$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = {\begin{matrix} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{matrix}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．
①分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润 $=$ 销售总额-总成本）

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18. 如图，已知抛物线 y=－x²+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)．

(1)、求 b ， c 的值．

(2)、点 C 关于直线x=1的对称点为点 D，直线 l⊥x 轴，分别交线段 AC，抛物线于 E，F 两点（点 F 在 CD 上方），连结 CF，FD，DE，CD．
①求四边形 CEDF 面积的最大值．

②若△CDE 是等腰三角形，求点 E 的坐标．

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19. 如图所示，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $B (3 ， 0)$ 、 $D (- 2 ， - 2.5)$ 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设抛物线的顶点为M，求四边形 $B O C M$ 的面积；

(3)、若点Q在y轴上，点P在抛物线上.是否存在以点A、B、P、Q为顶点的平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标.

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20. 某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个。已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元.

(1)、求线下和网上的销售量分别是多少.

(2)、该店为了扩大业务，增加了销售量。调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个.
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？

②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的 $\frac{1}{3}$ ，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？

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21. 某公司计划投资 $A$ 、 $B$ 两种产品，若只投资 $A$ 产品，所获得利润 $W_{A}$ （万元）与投资金额 $x$ （万元）之间的关系如图所示，若只投资 $B$ 产品，所获得利润 $W_{B}$ （万元）与投资金额 $x$ （万元）的函数关系式为 $W_{B} = - \frac{1}{5} x^{2} + n x + 300$ ．

(1)、求 $W_{A}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若投资 $A$ 产品所获得利润的最大值比投资 $B$ 产品所获得利润的最大值少140万元，求 $n$ 的值；

(3)、该公司筹集 $50$ 万元资金，同时投资 $A$ 、 $B$ 两种产品，设投资 $B$ 产品的资金为 $a$ 万元，所获得的总利润记作 $Q$ 万元，若 $a \geq 30$ 时， $Q$ 随 $a$ 的增大而减少，求 $n$ 的取值范围．

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22. 某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x年（x为整数）．

(1)、根据题意，填写下表：

第x年	1	2	3	…	x
售价（元）	4500	4000		…
销售量（百万台）	14	16		…

(2)、设第x年“国耀2020”手机的年销售额为y（百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？

(3)、若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售年就应该停产，去创新新的手机．

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23. 在高尔夫球训练中，运动员在距球洞 $10 m$ 处击球，其飞行路线满足抛物线 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{b}{5} x$ ，其图象如图所示，其中球飞行高度为 $y (m)$ ，球飞行的水平距离为 $x (m)$ ，球落地时距球洞的水平距离为 $2 m$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；

(3)、若球洞 $4 m$ 处有一横放的 $1.2 m$ 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{b}{5} x$ ，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求 $b$ 的取值范围.

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24. “阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离投掷点3米时达到最高点，在离投掷点8米处落地，

(1)、请求出此轨迹所在抛物线的关系式.

(2)、设抛物线与X轴另一个交点是E，点Q是对称轴上的一个动点，求当△EBQ的周长最短时点Q的坐标。

(3)、在抛物线上是否存在点G使得S_△DEG=19.5，若存在请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

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25. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）²+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

(1)、当a＝﹣ $\frac{1}{24}$ 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

(2)、若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 $\frac{12}{5}$ m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的顶点坐标是 $(2 ， 1)$ ，并且经过点 $(4 ， 2)$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与抛物线交于 $B$ ， $D$ 两点，以 $B D$ 为直径作圆，圆心为点 $C$ ，圆 $C$ 与直线 $m$ 交于对称轴右侧的点 $M (t ， 1)$ ，直线 $m$ 上每一点的纵坐标都等于1.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、证明：圆 $C$ 与 $x$ 轴相切；

(3)、过点 $B$ 作 $B E ⊥ m$ ，垂足为 $E$ ，再过点 $D$ 作 $D F ⊥ m$ ，垂足为 $F$ ，求 $M F$ 的值.（或者求 $\frac{B E}{M F}$ 的值）

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27. 如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A (- 6 ， 0)$ ， $B (0 ， - 8)$ 两点．

(1)、请求出直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、若有一抛物线的对称轴平行于 $y$ 轴且经过点 $M$ ，顶点 $C$ 在 $⊙ M$ 上，开口向下，且经过点 $B$ ，求此抛物线的函数表达式；

(3)、设 $(2)$ 中的抛物线交 $x$ 轴于 $D$ ， $E$ 两点，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $S △ P D E = \frac{1}{15} S △ A B C$ ?若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 如图，经过定点A的直线 $y = k (x - 2) + 1$ （k＜0）交抛物线y=﹣x²+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点.

(1)、直接写出点A的坐标；

(2)、如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；

(3)、如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y=t所截的弦长恒为定值，求t的值.

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一、综合题

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