海南省2021-2022学年高一上学期数学学业水平诊断期末试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x ∣ x > 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $(- 2 ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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3. 毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 $1050 k m$ ，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转 $\frac{π}{3} r a d$ ，昆仑站运动的路程约为（）

A、 $2200 k m$ B、 $1650 k m$ C、 $1100 k m$ D、 $550 k m$

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4. 设 $a = 2^{0.6}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = 0 . 5^{0.6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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5. 已知点 $P (3 ， - 4)$ 是角 $α$ 的终边上一点，则 $s i n α - c o s α =$ （）

A、 $- \frac{7}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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6. “ $l o g_{2} x > l o g_{2} y$ ”是“ $\frac{1}{\sqrt{x}} < \frac{1}{\sqrt{y}}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x + a$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内存在零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 5)$ B、 $(- 5 ， - 1)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (s i n x) = c o s^{2} x + c o s 2 x$ ，则 $f (s i n x - c o s x) =$ （）

A、 $3 s i n 2 x - 1$ B、 $1 - 3 s i n 2 x$ C、 $3 c o s 2 x - 1$ D、 $1 - 3 c o s 2 x$

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二、多选题

9. 下列函数为偶函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = l n \frac{1 + x}{1 - x}$ D、 $y = l n (1 + x) + l n (1 - x)$

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10. 关于函数 $f (x) = t a n (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq k π + \frac{5 π}{6} ， k \in Z}$ C、 $f (x)$ 的图象的对称中心为 $(k π + \frac{2 π}{3} ， 0) ， k \in Z$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递增

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11. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = a - x^{2}$ 与函数 $g (x) = a^{x}$ 在同一个坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知 $x$ ， $y$ 是正实数，则下列选项正确的是（）

A、若 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值2 B、若 $x + y = 3$ ，则 $x (y + 1)$ 有最大值5 C、若 $4 x + y = 1$ ，则 $2 \sqrt{x} + \sqrt{y}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{x}{4} + \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值 $\frac{9}{4}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $B = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{π}{6} x ， x 是有理数， \\ s i n x ， x 是无理数， \end{array}$ 则 $f (f (13)) =$ ．

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数且以6为周期，若 $f (2) = 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 10)$ 内至少有零点.

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16. Sigmoid函数是一个在生物学、计算机神经网络等领域常用的函数模型，其解析式为 $S (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ ，则此函数在 $R$ 上（填“单调递增”“单调递减”或“不单调”），值域为．

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 $(\sqrt{2} + 1)^{0} + {(\frac{1}{9})}^{- \frac{1}{2}} + (2 \sqrt{2})^{\frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $l g 200 + l g 5 - l o g_{2} 10 \times \frac{1}{2} l g 4 - 3^{l o g_{3} 2}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ）在定义域上单调递增，且在 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的最小值为 $- 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求满足 $0 < f (f (x)) < 1$ 的 $x$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1 - a^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若命题“ $\exists x \in R$ ， $f (x) \leq - 7$ ”假命题，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - c o s^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性并求其值域．

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21. 某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中 $A B$ ， $D E$ 都与横轴平行， $B C$ 与 $E F$ 相互平行．

(1)、分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量 $x$ （GB）的函数关系式 $f (x)$ 和 $g (x)$ ；

(2)、根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a \cdot 2^{- x}}{x^{2}}$ ，且 $f (1) = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $a$ 及 $f (- 2)$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(3)、若当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $x^{2} f (x) + \frac{m + 2}{2^{x}} \geq m + 1$ ，求 $m$ 的取值范围．

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