广西三新学术联盟2021-2022学年高一数学1月期末联考试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 6 ⩾ 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 3 ， 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， 3 ， 6}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 6}$ C、 ${3 ， 6}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 3 ， 6}$

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2. 函数 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ 的最小正周期为（）

A、4π B、2π C、π D、 $\frac{π}{2}$

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3. 命题：“ $\forall x \in R ， x^{2} - x + 2 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin R ， x^{2} - x + 2 \geq 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 2 < 0$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 2 \geq 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 2 < 0$

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4. 函数 $f (x) = e^{x} + x - 3$ 的零点所在的区间为（）

A、（-1，0） B、（0， $\frac{1}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ， 1） D、（1，2）

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5. 已知 $a = l o g_{5} 2 ， b = l o g_{8} 3 ， c = e^{l n \frac{1}{2}}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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6. 函数 $y = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{| x | - c o s x}$ 的图象大致为（）.

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $s i n (\frac{7 π}{6} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} - 2 α)$ =（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足对任意的实数 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 2$ ，函数 $g (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ ．若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有3个不同的交点 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $(x_{3} ， y_{3})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + g (y_{1} + y_{2} + y_{3}) =$ （）

A、 $\frac{16}{9}$ B、 $\frac{25}{9}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{13}{5}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{7 π}{6}$ 是第二象限角 B、若 $t a n α = \frac{3}{4}$ ，则 $c o s α = - \frac{4}{5}$ C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$ D、若角 $α$ 为锐角，则角 $2 α$ 为钝角

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10. 如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 $y (m^{2})$ 与时间t（月）的关系为： $y = a^{t}$ ．有以下几个判断，正确的是（）

A、 $a = 3$ B、浮萍每月增加的面积都相等 C、在第4个月，浮萍面积超过 $80 m^{2}$ D、若浮萍蔓延到 $2 m^{2} ， 4 m^{2} ， 8 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ ，则 $2 t_{2} = t_{1} + t_{3}$

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11. 下列各式最值正确的有（）

A、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $s i n x + \frac{4}{s i n x}$ 的最小值为4 B、当 $a b > 0$ 时． $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为2 C、当 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ 时， $\begin{array}{l} (a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b}) \end{array}$ 的最小值为4 D、当 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最大值为-2

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12. 已知 $f (x)$ 是周期为4的奇函数，且当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x ， 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，设 $g (x) = f (x) + f (x + 1)$ ，则（）

A、 $g (2022) = - 1$ B、函数 $y = g (x)$ 为周期函数 C、函数 $y = g (x)$ 的最大值为2 D、函数 $y = g (x)$ 的图象既有对称轴又有对称中心

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三、填空题

13. 化简： $l g \frac{1}{4} - l g 25 + (π - 2)^{0} + \sqrt[3]{- 8} =$ ．

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14. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点（2，4），则 $f (5) =$ .

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15. 若 $t a n θ = - 2$ ，则 $\frac{s i n θ (1 + s i n 2 θ)}{s i n θ + c o s θ} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = c o s (3 x + \frac{π}{3})$ ，其中 $x \in [\frac{π}{6} ， m]$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x < - 3$ 或 $x > 1}$ ， $B = {x | a - 1 < x < 2 a + 3}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、已知 $A ∪ B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $c o s (\frac{π}{4} + x) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，求 $\frac{s i n 2 x + 2 s i n^{2} x}{1 - t a n x}$ 的值．

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19. 目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入 $90$ 万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前 $n (n \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 5 n)$ 万元，每年的销售收入95万元．

(1)、估计该设备从第几年开始实现总盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．

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20. 已知 $f (x) = 2 s i n x \cdot s i n (x + \frac{π}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变．得到通数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域．

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21. 已知函数 $f (x)$ 对任意x， $y \in R$ ，总有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，且当 $x > 0$ 时，都有 $f (x) < 0$ 成立，且 $f (- 1) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是奇函数；

(2)、利用函数的单调性定义证明 $f (x)$ 在R上单调递减；

(3)、若不等式 $f (m x^{2} + x) - f (x^{2} - x + 1) > - 1$ 对任意的 $x \in [1 ， 4]$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{x - 2}{x + 2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、是否存在实数a，使得当 $f (x)$ 的定义域为 $[m ， n]$ 时，值域为 $[1 + l o g_{a} n ， 1 + l o g_{a} m]$ ，若存在，求出实数a的范围：若不存在，请说明理由．

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