广西河池市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题： $\forall x \in Z ， 2 x \in Z$ 的否定为（）

A、 $\forall x \in Z ， 2 x \notin Z$ B、 $\exists x \in Z ， 2 x \notin Z$ C、 $\forall x \notin Z ， 2 x \notin Z$ D、 $\exists x \in Z ， 2 x \in Z$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n (\frac{1}{4} x - \frac{π}{9})$ 的最小正周期为（）

A、2π B、4π C、8π D、16π

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3. “θ＝ $0$ ” 是 “sinθ＝ $0$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知 $l n 2 \approx 0.6931$ ， $l n 3 \approx 1.0986$ ，设 $N = 3 6^{5}$ ，则 $N$ 所在的区间为（ $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）（）

A、 $(e^{17} ， e^{18})$ B、 $(e^{18} ， e^{19})$ C、 $(e^{19} ， e^{20})$ D、 $(e^{21} ， e^{22})$

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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6. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，且 $f (x + 2) = f (- x)$ ，若 $f (\frac{3}{4}) = \frac{2}{5}$ ，则 $f (\frac{2021}{4}) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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7. 下列命题不正确的是（）

A、若 $x \in R$ ，则 $1 - x^{2}$ 的最大值为1 B、若 $x > 2$ ，则 $x + \frac{1}{x - 2}$ 的最小值为4 C、若 $x \in R$ ，则 $1 + x^{2}$ 的最小值为1 D、若 $x > y > 0 ， z > 0$ ，则 $\frac{y + z}{x + z} < \frac{y}{x}$

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8. 已知 $a = \sqrt{3} ， b = 2^{\frac{3}{4}} ， c = l o g_{2} e$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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二、多选题

9. 在 $- 360 ° ∼ 360 °$ 范围内，与-410°角终边相同的角是（）

A、-50° B、-40° C、310° D、320°

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10. 下列计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{(e - 3)^{2}} = e - 3$ B、若 $x + x^{- 1} = 3$ ，则 $x^{4} + x^{- 4} = 47$ C、 $l g 2 \times (2 - l g 2) + l g^{2} 5 - l g \frac{1}{10} = 2$ D、 $l o g_{2} 9 \times l o g_{3} 8 = 6$

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11. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”．下列四个选项中，函数 $y = f (x)$ 和函数 $y = g (x)$ 互为“原形函数”的是（）

A、 $f (x) = s i n x ， g (x) = c o s (- x)$ B、 $f (x) = \frac{4}{2^{x}} ， g (x) = 2^{- x}$ C、 $f (x) = l n x ， g (x) = l n \frac{x}{e^{5}}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x - 1} ， g (x) = 1 - \frac{x - 3}{x - 2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x ， s i n x ⩾ c o s x ， \\ c o s x ， s i n x < c o s x ， \end{array}$ 则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 不是周期函数 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ C、函数 $f (x)$ 的图象不关于任何点对称 D、函数 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = k π + \frac{π}{4} ， k \in Z$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x^{2} < 4} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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14. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[2 ， 3]$ 上的最大值是最小值的2倍，则 $a =$ ．

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15. 已知 $2 c o s α - c o s β = \frac{3}{2}$ ， $2 s i n α - s i n β = 2$ 则 $c o s (α - β) =$ ．

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16. 已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为，此时扇形的圆心角的弧度数为．

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四、解答题

17. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (m ， 2 \sqrt{2} m) (m > 0)$ ．

(1)、求 $s i n θ ， c o s θ ， t a n θ$ 的值；

(2)、求 $f (θ) = \frac{s i n (- θ) c o s (\frac{π}{2} - θ) s i n (π - θ) t a n (π + θ)}{c o s (2 π - θ) s i n (\frac{π}{2} + θ) c o s (π + θ)}$ 的值．

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18. 若关于x的不等式 $x^{2} - 4 m x + m < 0$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $\frac{1}{x_{1} - 4} + \frac{1}{x_{2} - 4}$ 的值；

(2)、若 $x_{1} > 0 ， x_{2} > 0$ ，求 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值及 $x_{1} + 4 x_{2}$ 的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心的坐标和对称轴方程．

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20. 已知偶函数 $f (x) = \frac{x + m}{2^{x} - 2^{- x}}$ .

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、经过研究可知，函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求满足条件 $f (a - 1) < f (a^{2} - a)$ 的实数a的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示，点 $A (0 ， - \frac{\sqrt{2}}{4})$ 为函数 $f (x)$ 的图象与y轴的一个交点，点B为函数 $f (x)$ 图象上的一个最高点，且点B的横坐标为 $\frac{π}{4}$ ，点 $C (\frac{3 π}{4} ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 的图象与x轴的一个交点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $g (x) = a f (x) + a f (x - \frac{4 π}{3}) + b$ 的值域为 $[- 4 ， 6]$ ，求a，b的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (\frac{2}{x} - a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、请判断函数 $g (x) = f (x) - l o g_{3} (a x + a - 1)$ 是否可能有两个零点，并说明理由；

(3)、设 $a < 0$ ，若对任意的 $t \in [\frac{1}{4} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求实数 $a$ 的取值范围.

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