广东省深圳市南山区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1} ， B = {x ∣ x^{2} \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式中，正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a + b < a b$ D、 $a - \frac{1}{a} < b - \frac{1}{b}$

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3. 已知 $a = \log_{2} 7, b = \log_{3} 8, c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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4. 已知 $x > 0$ ，则 $4 - 2 x - \frac{2}{x}$ 的最大值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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5. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增， $f (- 1) = 2$ ，则不等式 $f (2 x + 1) < 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} \cos x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $f （ x ） = ln x + x - 2$ ，则函数 $f (x)$ 的零点所在的区间为（　　）

A、（0，1） B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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8. 如图是函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2 ， φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $ω = 1 ， φ = \frac{2 π}{3}$ C、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{3}$ D、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{6}$

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二、多选题

9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = l n x^{2}$ 与 $g (x) = 2 l n x$ C、 $f (x) = x^{2} - 1$ 与 $g (x) = (x + 1)^{2} - 2 (x + 1)$ D、 $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x - 1}}$ 与 $g (x) = \sqrt{x - 1}$

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10. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $m$ ， $n$ 是正整数，则（）

A、 $l o g_{a} (m n) = l o g_{a} m + l o g_{a} n$ B、 $l o g_{a} (\frac{m}{n}) = \frac{l o g_{a} m}{l o g_{a} n}$ C、 $l o g_{a^{n}} m = n l o g_{a} m$ D、 $l o g_{a} m^{n} = n l o g_{a} m$

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11. 下列命题为真命题的有（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b > 0 ， c < 0$ 则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$

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12. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数 $y = [x]$ ， $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如 $[1.1] = 1$ ．已知 $f (x) = [\frac{2 x - 1}{x + 1}]$ ， $x \in (- \infty ， - 3) \cup (2 ， + \infty)$ ，则函数 $f (x)$ 的值可能为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、填空题

13. 函数f(x)＝ $\sqrt{2^{x} - 1}$ ＋ $\frac{1}{x - 2}$ 的定义域为

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 (- 1 \leq x \leq 0) \\ 3^{x} (0 < x \leq 3) \end{array}$ ，则 $f [f (- 1)] =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{4}$ ， BC边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $c o s A =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{2} - \frac{10}{3} x + 8 ， x > 3 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有四个不同的实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $s = x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 值为.

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四、解答题

17. 已知 $2 s i n α + c o s α = 0$ ，求 $\frac{4 s i n α - 3 c o s α}{2 s i n α + 5 c o s α}$ 的值.

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = [- 2 ， 1) ， B = {x | 2 a < x < a + 3}$ ．

(1)、若 $a = - \frac{1}{2}$ ，求 $A ∪ (∁_{U} B)$ ．

(2)、 $p ： x \in A ， q ： x \in B$ ．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

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19.

(1)、化简： $\frac{1}{s i n 1 0^{∘}} - \frac{\sqrt{3}}{c o s 1 0^{∘}}$ .

(2)、已知 $α ， β$ 都是锐角， $s i n α = \frac{4}{5} ， c o s (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $s i n β$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x \cdot c o s ω x + s i n^{2} ω x - \frac{1}{2} (0 < ω < 2) ， x = - \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴.

(1)、求 $f (x)$ 的最大值，并写出 $f (x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的取值集合；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间.

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21. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + b}$ 是奇函数.

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $t \in [- 1 ， 1]$ 不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (k - t^{2}) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

(1)、若函数满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 2$ ，且 $f (0) = 1$ .求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \geq 2 a x + b$ 恒成立，求 $\frac{b^{2}}{4 (a^{2} + c^{2})}$ 的最大值.

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