广东省深圳市宝安区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数f（x）= $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、[1，2）∪（2，+∞） B、（1，+∞） C、[1，2） D、[1，+∞）

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x > s i n x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x \leq s i n x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x \geq s i n x$ C、 $\exists x \in R$ ， $x > s i n x$ D、 $\exists x \in R$ ， $x \leq s i n x$

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3. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）

A、 $- \sqrt{x} = {(- x)}^{\frac{1}{2}}$ B、 $x^{- \frac{3}{4}} = \sqrt[4]{{(\frac{1}{x})}^{3}} (x > 0)$ C、 $\sqrt[6]{y^{2}} = y^{\frac{1}{3}}$ D、 ${[\sqrt[3]{{(- x)}^{2}}]}^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}} (x < 0)$

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4. 已知集合 $A = {- 2 ， 1}$ ， $B = {x | a x = 2}$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则实数a值的集合为（）

A、{-1} B、{2} C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2}$

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5. 设a，b $\in$ R， $a < b < 0$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ D、 $a b > b^{2}$

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6. 已知函数 $f (x + 1) = 3 x + 16$ ，若 $f (a) = 3^{l o g_{3} 10}$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、－1 C、2 D、－2

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7. 若 $p$ ： $| x - 2 | \leq 3$ ，则 $p$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 1 \leq x \leq 6$ B、 $- 2 \leq x \leq 5$ C、 $- 1 < x \leq 5$ D、 $0 \leq x \leq 6$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 1 | ， x \leq 0 ， \\ l n x + 1 ， x > 0 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 恰有三个不同的实数解a，b，c（ $a < b < c$ ），则 $(a + b) c$ 的取值范围是（）.

A、 $[- 2 ， - \frac{2}{e})$ B、 $(e - 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2 e)$ D、 $[- e ， 2]$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 1 - c o s 2 x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π ， \frac{π}{2} + k π]$ ， $k \in Z$

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10. 若函数 $f (x) = (3 m^{2} - 10 m + 4) x^{m}$ 是幂函数，则 $f (x)$ 一定（）

A、是偶函数 B、是奇函数 C、在 $x \in (- \infty ， 0)$ 上单调递减 D、在 $x \in (- \infty ， 0)$ 上单调递增

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11. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减， $f (- 7) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减 B、 $f (8) < 0$ C、 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴只有2个交点 D、不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 7) \cup (0 ， 7)$

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12. 若 $a ， b > 0$ 且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则（）

A、当 $a b$ 有最小值时， $a = 2$ B、 $a b$ 的最小值为9 C、 $a + 8 b$ 的最小值为25 D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} \geq \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 若角 $θ$ 的终边与角 $\frac{6 π}{7}$ 的终边相同，则在 $[0 ， 2 π)$ 内与角 $\frac{θ}{3}$ 的终边相同的角是．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} \\ f (x - 2) \end{array}$ $\begin{array}{l} ， x < 3 \\ ， x \geq 3 \end{array}$ ，则 $f (f (5)) =$ ．

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15. 将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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16. 已知函数 $f (x)$ 图像关于 $x = 0$ 对称，当 $x_{2} > x_{1} \geq 0$ 时， $[f (x_{2}) - f (x_{1})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ 恒成立，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 取值范围是．

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四、解答题

17. 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用 $x$ 年时，总的维修费用为 $\frac{(1 + x) x}{20}$ 万元，问：

(1)、设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用= $\frac{总费用}{年限}$ ）

(2)、这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）

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18. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ .

(1)、若 $ω = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、存在唯一的实数 $t \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，使得函数 $f (x)$ 关于点 $(t ， 0)$ 对称，求 $ω$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{m x^{2} + n x + 9}{x}$ 为奇函数，且 $f (1) = 10$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(3 ， + \infty)$ 的单调性并证明；

(3)、解关于的x不等式： $f (- 4 - | x |) > - 10$ ．

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20. 已知奇函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ （a为常数）．

(1)、求a的值；

(2)、若函数 $g (x) = | (2^{x} + 1) f (x) | - k$ 有2个零点，求实数k的取值范围；

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21. 已知函数 $y = f (x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 a x + 1$ ，（a为常数).

(1)、当x<0时，求 $f (x)$ 的解析式：

(2)、设函数 $y = f (x)$ 在[0，5]上的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式；

(3)、对于（2）中的 $g (a)$ ，试求满足 $g (8 m) = g (\frac{1}{m})$ 的所有实数成的取值集合.

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} + a x + a - 1$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，且 $\exists x_{1} \in [2 ， 3]$ ， $\forall x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $m f (x_{1}) < x_{2} - \frac{2}{x_{2}} + 5 m (m \neq 0)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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