北京市西城区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} < 4}$ ，那么 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{array}$ 的解集是（）

A、 ${(1 ， - 1) ， (- 1 ， 1)}$ B、 ${(1 ， 1) ， (- 1 ， 1)}$ C、 ${(1 ， - 1) ， (- 1 ， - 1)}$ D、 $\emptyset$

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3. 函数 $y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$

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4. 为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在 $[25 ， 35)$ 内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）

A、0.38 B、0.61 C、0.122 D、0.75

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5. 若 $a > b$ ， $c > d > 0$ ，则一定有（）

A、 $a c > b d$ B、 $a c < b d$ C、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ D、以上答案都不对

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 3)$ ，那么 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、8 D、 $\sqrt{74}$

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7. 若 $2^{a} = 3$ ，则 $l o g_{4} 3 =$ （）

A、 $\frac{1}{2} a$ B、a C、2a D、4a

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8. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ”是“向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 设 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x + 1) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (- 1 ， 0)$

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10. 如图，AB为半圆的直径，点C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若 $A B = 2$ ，则 $| \vec{A C} + \vec{M B} |$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[\sqrt{2} ， 3]$ C、 $[3 ， \sqrt{10}]$ D、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{10}]$

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二、填空题

11. 命题“ $\forall x > 0$ ， $2^{x} > 0$ ”的否定是．

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12. 茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a，b，则a，b的大小关系是．

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13. 如图，在正六边形ABCDEF中，记向量 $\vec{F A} = \vec{a}$ ， $\vec{E D} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{B C} =$ ．（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示）

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14. 设函数 $f (x)$ 的定义域为D，若存在实数 $T (T > 0)$ ，使得对于任意 $x \in D$ ，都有 $f (x) < f (x + T)$ ，则称 $f (x)$ 为“T—单调增函数”．
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数” $f (x)$ 一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” $f (x)$ 一定是“ $n T$ —单调增函数” （其中 $x \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ）：
③函数 $f (x) = [x]$ 是“T—单调增函数”（其中 $[x]$ 表示不大于x的最大整数）；
④函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ l g x ， x > 0 \end{array}$ 不是“T—单调增函数”．
其中，所有正确的结论序号是．

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15. 若不等式 $x^{2} + a x + b > 0$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{2}) ∪ (2 ， + \infty)$ ，则 $a =$ ， $b =$ ．

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三、解答题

16. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙答题错误的概率是 $\frac{1}{3}$ ，乙、丙两人都答题正确的概率是 $\frac{1}{4}$ ，假设每人答题正确与否是相互独立的．

(1)、求丙答题正确的概率；

(2)、求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．

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17. 设 $f (x) = x^{2} - a x + 3$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的图像与直线 $y = 3 x$ 交点的坐标；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上不具有单调性，求a的取值范围．

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18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y

(1)、若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；

(2)、设 $x = 6$ ， $y = 10$ ，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求 $a \geq b$ 的概率；

(3)、在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、若 $f (a) = 1$ ，求a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(3)、若 $f (x) \geq m$ 对于 $x \in [3 ， + \infty)$ 恒成立，求实数m的范围．

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20. 某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（ $n \in N^{*}$ ，单位：年）之间的函数关系式为 $e = 2 n^{2} + 10 n$ ，该船每年捕捞的总收入为50万元．

(1)、该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？

(2)、若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

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21. 设A是实数集的非空子集，称集合 $B = {u v | u ， v \in A$ 且 $u \neq v}$ 为集合A的生成集．

(1)、当 $A = {2 ， 3 ， 5}$ 时，写出集合A的生成集B；

(2)、若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)、判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 $B = {2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 10 ， 16}$ ，并说明理由．

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甲	6	6	9	9
乙	7	9	x	y