北京市通州区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | x ≥ 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{-1} B、{1} C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知 $m > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a m > b m$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} - 1 (x > 0)$ ，则（）

A、当且仅当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 有最小值为 $1$ B、当且仅当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 有最小值为 $2$ C、当且仅当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 有最大值为 $1$ D、当且仅当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 有最大值为 $2$

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4. 下列各式中，正确的是（）

A、 $1 . 7^{2.5} > 1 . 7^{3}$ B、 $0 . 8^{- \sqrt{2}} > 0 . 8^{- \sqrt{3}}$ C、 $l o g_{2} 3.4 < l o g_{2} 8.5$ D、 $l o g_{0.3} 1.8 < l o g_{0.3} 2.7$

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5. 计算 $c o s 33 0^{∘} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x$ ，则 $f (x)$ 的（）

A、最小正周期为 $π$ ，最大值为 $\sqrt{3} - 1$ B、最小正周期为 $π$ ，最大值为2 C、最小正周期为 $2 π$ ，最大值为 $\sqrt{3} - 1$ D、最小正周期为 $2 π$ ，最大值为2

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 表示为
$x$
$[- 2 ， 0)$
0
$(0 ， 2]$
$y$
1
0
-2
设 $f (1) = m$ ， $f (x)$ 的值域为 $M$ ，则（）

A、 $m = - 2$ ， $M = {- 2 ， 0 ， 1}$ B、 $m = - 2$ ， $M = {y | - 2 ≤ y ≤ 1}$ C、 $m = 1$ ， $M = {- 2 ， 0 ， 1}$ D、 $m = 1$ ， $M = {y | - 2 ≤ y ≤ 1}$

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8. 甲、乙两位同学解答一道题：“已知

s i n 2 α = \frac{5}{13}

，

\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}

，求

c o s 4 α

的值.”

甲同学解答过程如下：

解：由 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ，得 $\frac{π}{2} < 2 α < π$ .

因为 $s i n 2 α = \frac{5}{13}$ ，

所以 $c o s 2 α = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^{2}} = \frac{12}{13}$ .

所以 $c o s 4 α = c o s^{2} 2 α - s i n^{2} 2 α$

$= (\frac{12}{13})^{2} - (\frac{5}{13})^{2}$ $= \frac{119}{169}$ .

乙同学解答过程如下：

解：因为 $s i n 2 α = \frac{5}{13}$ ，

所以 $c o s 4 α = c o s [2 \times (2 α)] = 1 - s i n^{2} 2 α$

$= 1 - (\frac{5}{13})^{2}$

$= \frac{144}{169}$ .

则在上述两种解答过程中（）

A、甲同学解答正确，乙同学解答不正确 B、乙同学解答正确，甲同学解答不正确 C、甲、乙两同学解答都正确 D、甲、乙两同学解答都不正确

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9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，则（）

A、 $f (x + π) = f (x)$ B、对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6})$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、 $\forall x \in R$ ，都有 $f (\frac{5 π}{3} + x) = f (\frac{5 π}{3} - x)$ D、 $\exists x \in [- \frac{17 π}{12} ， - \frac{5 π}{12}]$ ，使得 $f (x) = - 2$

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10. 已知关于 $x$ 的方程 $2 \times 3^{x} + a \cdot 2^{x} - 2^{x + 1} = 0$ （ $a \in R$ ）的根为负数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{3}{2})$ D、 $(0 ， 2)$

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二、填空题

11. 不等式 $x^{2} - 2 x > 0$ 的解集为．

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12. 化简 $\frac{2 c o s (- 2 θ) - 2}{t a n^{2} θ (c o s 2 θ + 1)} =$ ．

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13. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积 $S$ （单位：平方米）与时间 $t$ （单位：月）的关系式为 $S = a^{t + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象如图所示. 则下列结论：
①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；
②浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的 $\frac{1}{4}$ ；
③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50%；
④浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少.
其中正确结论的序号是．

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14. 已知 $3^{x} = 2$ ， $y = l o g_{3} 18$ ，则 $x =$ ； $y - x =$ ．

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15. 已知 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 是第三象限角，则 $t a n α =$ ； $s i n 2 α =$ ．

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三、解答题

16. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、若 $f (- 1) = 7$ ，求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的最值.

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17. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ 上的最大值；

(3)、若 $g (x) = f (x) - x$ ，求证： $g (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内存在零点．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $c o s α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $y_{1}$ 的值；

(2)、将射线 $O P$ 绕坐标原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后与单位圆交于点 $M (x_{2} ， y_{2})$ ，求 $x_{2}$ 的值；

(3)、若点 $N$ 与 $M$ 关于 $x$ 轴对称，求 $t a n ∠ M O N$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值，并写出 $f (x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的集合；

(2)、把曲线 $y = f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $x \in [- 2 π ， 2 π]$ 上的单调递增区间.

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20. 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第 $n$ 个月的月平均最高气温 $G (n)$ 可近似地用函数 $G (n) = A c o s (ω n + φ) + k$ 来刻画，其中正整数 $n$ 表示月份且 $n \in [1 ， 12]$ ，例如 $n = 1$ 表示1月份， $A$ 和 $k$ 是正整数， $ω > 0$ ， $φ \in (0 ， π)$ ．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3摄氏度，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到 $7$ 月份达到最高为33摄氏度.

(1)、求 $G (n)$ 的解析式；

(2)、某植物在月平均最高气温低于 $13$ 摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数.

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21. 若函数 $f (x)$ 的自变量的取值范围为 $[a ， b]$ 时，函数值的取值范围恰为 $[\frac{2}{b} ， \frac{2}{a}]$ ，就称区间 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的一个“和谐区间” .

(1)、先判断“函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 没有“和谐区间”是否正确，再写出函数 $g (x) = - x + 3 (x > 0)$ 的“和谐区间”；

(2)、若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ 上的奇函数，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{1}{l o g_{2} x}$ .
（i）求 $f (x)$ 的“和谐区间”；
（ii）若函数 $g (x)$ 的图象是 $f (x)$ 在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数 $m$ ，使集合 ${(x ， y) | y = g (x)} ∩ {(x ， y) | y = x^{3} - m x ， m > 0}$ 恰含有2个元素，若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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$x$	$[- 2 ， 0)$	0	$(0 ， 2]$
$y$	1	0	-2