北京市石景山区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 1}$ ，且 $a \in A$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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2. 命题“ $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x \geq 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x \geq 3$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x < 3$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x < 3$ D、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x \geq 3$

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3. 下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（）

A、 $f (x) = - 3 x$ B、 $f (x) = 3 x$ C、 $f (x) = l o g_{3} x$ D、 $f (x) = 3^{x}$

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4. 设 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，下列选项中一定正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a - c < b - c$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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5. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = x - 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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6. 函数 $f (x) = x + l o g_{2} x - 5$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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7. 不等式 $a x^{2} - x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ ，则函数 $y = a x^{2} + x + c$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 令a=6^0.7 ， b=0.7⁶ ， c=log_0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（　　）

A、b＜c＜a B、b＜a＜c C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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9. 下列命题中不正确的是（）

A、一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 B、数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的 $85 %$ 分位数为5 C、若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙 D、为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟

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10. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ${θ_{1}}^{∘} C$ ，空气温度为 ${θ_{0}}^{∘} C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $^{∘} C$ ）满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ ．若常数 $k = 0.05$ ，空气温度为 $3 0^{∘} C$ ，某物体的温度从 $9 0^{∘} C$ 下降到 $5 0^{∘} C$ ，大约需要的时间为（）（参考数据： $l n 3 \approx 1.1$ ）

A、16分钟 B、18分钟 C、20分钟 D、22分钟

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ 的定义域是.

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12. 已知幂函数 $f (x) = x^{m}$ 经过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$

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13. 制造一种零件，甲机床的正品率为0.9，乙机床的正品率为0.8．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是．

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14. “ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”中的一个）

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq t \\ x ， 0 < x < t \end{array}$ （ $t > 0$ ）．
①当 $t = 1$ 时 $f (x)$ 的值域为；
②若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则 $t$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ， $B = {x | 2 < x < 4}$ ， $C = {x | 0 < x < a}$ .

(1)、求 $A ∪ B$ ， $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A \subseteq C$ ，求实数a的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ．

(1)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、对任意 $x \in [2 ， 4]$ 都有 $f (x) \leq m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照 $[15 ， 25)$ ， $[25 ， 35)$ ， $[35 ， 45)$ ， $[45 ， 55)$ ， $[55 ， 65]$ 分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)、求 $a$ 的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在 $[15 ， 25)$ 中的概率．

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19. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为 $x$ 米，两个养殖池的总面积为 $y$ 平方米，如图所示：

(1)、将 $y$ 表示为 $x$ 的函数，并写出定义域；

(2)、当 $x$ 取何值时， $y$ 取最大值？最大值是多少?

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20. 若实数 $x$ ， $y$ ， $m$ 满足 $| x - m | > | y - m |$ ，则称 $x$ 比 $y$ 远离 $m$ .

(1)、若 $x$ 比 $\frac{1}{2}$ 远离1，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $m \leq 1$ ， $x + y = 2$ ，试问： $x$ 与 $x^{2} + y^{2}$ 哪一个更远离 $m$ ，并说明理由.

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