北京市海淀区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x | - 3 < x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

查看试题解析
2. 命题“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} - x + 3 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} - x + 3 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} - x + 3 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} - x + 3 \leq 0$ D、 $\exists x \notin R$ ，使得 $x^{2} - x + 3 \leq 0$

查看试题解析
3. 已知 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $l n (1 - a) > l n (1 - b)$

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{x} - l o g_{2} x$ .在下列区间中，包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

查看试题解析
5. $4 \times 100$ 米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会 $4 \times 100$ 米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）

A、 $p_{1} p_{2} p_{3}$ B、 $1 - p_{1} p_{2} p_{3}$ C、 $(1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$ D、 $1 - (1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$

查看试题解析
6. 下列函数中，在R上为增函数的是（）

A、 $y = 2^{- x}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 ， \\ x ， x < 0 \end{array}$ D、 $y = l g x$

查看试题解析
7. 已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为 $C = \frac{3}{10} Q^{2} + 3000$ .设该产品年产量为Q时的平均成本为 $f (Q)$ （单位：元/件），则 $f (Q)$ 的最小值是（）

A、30 B、60 C、900 D、180

查看试题解析
8. 逻辑斯蒂函数 $f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ 二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类.下列关于函数 $f (x)$ 的说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， f (0))$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的值域为（0，1） C、不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集是 $(0 ， + ∞)$ D、存在实数a，使得关于x的方程 $f (x) - a = 0$ 有两个不相等的实数根

查看试题解析
9. 甲､乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）

A、甲得分的极差大于乙得分的极差 B、甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数 C、甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D、甲得分的标准差小于乙得分的标准差

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ （b，c为实数）， $f (- 10) = f (12)$ .若方程 $f (x) = 0$ 有两个正实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的最小值是（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析

二、填空题

11. 函数 $f (x) = l o g_{0.5} (x - 1)$ 的定义域是.

查看试题解析
12. 已知 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = l n x$ ，则 $f (- \frac{1}{e})$ 的值是.

查看试题解析
13. 定义域为R，值域为 $(- \infty ， 1)$ 的一个减函数是.

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = | l o g_{5} x |$ .若 $f (x) < f (2 - x)$ ，则x的取值范围是.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x ， x \leq 1 ， \\ a^{x - 1} ， x > 1 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.给出下列四个结论：
①存在实数a，使得 $f (x)$ 有最小值；
②对任意实数a（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $f (x)$ 都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得 $f (x)$ 的值域为R；
④若 $a > 3$ ，则存在 $x_{0} \in (0 ， + ∞)$ ，使得 $f (x_{0}) = f (- x_{0})$ .
其中所有正确结论的序号是.

查看试题解析

三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {x | x - 4 a \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = R$ ，求实数a的取值范围.

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b \cdot a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，说明理由；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、若 $f (| m | - 3)$ 不大于 $b \cdot f (2)$ ，直接写出实数m的取值范围.
条件①： $a > 1$ ， $b = 1$ ；条件②： $0 < a < 1$ ， $b = - 1$ .

查看试题解析
18. 某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为 $4 ： 1$ .现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.

一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2

(1)、写出a，b的值；

(2)、从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；

(3)、以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记 $P_{1}$ 表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率， $P_{2}$ 表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 的大小.（只需写出结论）

查看试题解析
19. 已知定义域为D的函数 $f (x)$ ，若存在实数a，使得 $\forall x_{1} \in D$ ，都存在 $x_{2} \in D$ 满足 $\frac{x_{1} + f (x_{2})}{2} = a$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (a)$ .

(1)、判断下列函数是否具有性质 $P (0)$ ，说明理由；① $f (x) = 2^{x}$ ；② $f (x) = l o g_{2} x$ ， $x \in (0 ， 1)$ .

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为D，且具有性质 $P (1)$ ，则“ $f (x)$ 存在零点”是“ $2 \in D$ ”的_________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”､“必要而不充分”､“充分必要”､“既不充分也不必要”）

(3)、若存在唯一的实数a，使得函数 $f (x) = t x^{2} + x + 4$ ， $x \in [0 ， 2]$ 具有性质 $P (a)$ ，求实数t的值.

查看试题解析
20. 2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位： $h$ ），在 $t = 0$ 时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位： $μ g / m l$ ）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：

(1)、下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是.
① $C (t) = {\begin{array}{l} 0.2 t ， 0 \leq t < 1.5 \\ 0.75 - 0.3 t ， t \geq 1.5 \end{array}$
② $C (t) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{5} t^{2} + \frac{2}{5} t ， 0 \leq t < 15 \\ \frac{9}{40} - \frac{1}{20} t ， 1.5 \leq t < 4.5 \\ 0 ， t \geq 4.5 \end{array}$
③ $C (t) = {\begin{array}{l} 0.3 e^{t} - 0.3 ， 0 \leq t < 1.5 \\ \frac{0.3 l n (2.5)}{t} ， t \geq 1.5 \end{array}$
④ $C (t) = {\begin{array}{l} 0.2 l n (t + 1) ， 0 \leq t < 1.5 \\ \frac{0.3 l n (2.5)}{t} ， t \geq 1.5 \end{array}$

(2)、对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1 $μ g / m l$ ，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片；（填“合格”､“不合格”）

(3)、记血药浓度的峰值为 $C_{m a x}$ ，当 $C \geq \frac{1}{2} C_{m a x}$ 时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.

查看试题解析

	一等品	二等品
甲生产线	76	a
乙生产线	b	2