北京市东城区2021~2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， A = {1 ， 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${3 ， 4}$

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2. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $s i n α = - \frac{4}{5} ， c o s α = \frac{3}{5}$ ，那么角 $α$ 的终边与单位圆 $⊙ O$ 坐标为（）

A、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$

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3. 已知实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，那么 $x y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 ， x \leq 0 ， \\ \sqrt{x} ， x > 0 \end{array}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $c o s 28 ° = a$ ，则 $c o s 62 ° =$ （）

A、 $- a$ B、a C、 $\sqrt{1 - a^{2}}$ D、 $- \sqrt{1 - a^{2}}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} - l n x$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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7. 设 $a = l o g_{3} 4 ， b = 3^{- \frac{1}{3}} ， c = l o g_{3} 3^{- 1}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. “ $x y = 0$ ”是“ $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 在一个周期内的简图时，列表如下：
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{12}$
$2 π$
x
$\frac{π}{12}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{5 π}{12}$
$\frac{7 π}{12}$
$\frac{3 π}{4}$
y
0
2
0
-2
0
则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = 2 s i n (3 x + \frac{π}{12})$ C、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $f (x) = 2 s i n (3 x - \frac{π}{4})$

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10. 已知函数 $f (x) = l n (a x - b)$ 的定义域是 $(1 ， + \infty)$ ，那么函数 $g (x) = (a x + b) (x - 1)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上（）

A、有最小值无最大值 B、有最大值无最小值 C、既有最小值也有最大值 D、没有最小值也没有最大值

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二、填空题

11. 函数 $y = s i n 2 x$ 的最小值为．

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12. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ （ $α$ 是常数）的图象经过点 $(2 ， 4)$ ，那么 $f (- 2) =$ ．

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的增函数，且 $f (3 + 2 a) < f (2)$ ，那么实数a的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ， 0 < x < 2 \\ l o g_{2} x ， x \geq 2 \end{array}$ ，且关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有且仅有一个实数根，那实数 $t$ 的取值范围为．

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15. 设函数 $f (x) = l o g_{a} (| x | + 1) (a > 1)$ ，则 $f (x)$ 是（填“奇函数”或“偶函数”）；对于一定的正数T，定义 $f_{T} (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) < T ， \\ - f (x) ， f (x) \geq T ， \end{array}$ 则当 $T = \frac{1}{a}$ 时，函数 $f_{T} (x)$ 的值域为．

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | x \leq 4}$ ，集合 $B = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1 ， m \in R}$ ．

(1)、当 $m = 4$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、当 $A ∩ B = \emptyset$ 时，求m的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 4 (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (1) = 0$ ，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (1) = 2$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值；

(3)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①： $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称；
条件②： $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、请写出你选择的条件，并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ （k为常数）有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，当 $x_{1} < - \sqrt{3}$ 时，求k的取值范围．

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20. 人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型 $d_{x} = d_{0} e^{- b x}$ 是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（ $x = 1$ 时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层； $x = 2$ 时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）； $d_{0}$ 是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里）， $d_{x}$ 为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数； $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：
年份
$d_{0}$
b
2006
2.2
0.13
2016
2.3
0.10

(1)、求该市2006年2环处的人口密度（参考数据： $e^{- 0.26} \approx 0.77$ ，结果保留一位小数）；

(2)、2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的 $\frac{2}{3}$ ，求该环是这个城市的多少环．（参考数据： $l n 2 \approx 0.7 ， l n 3 \approx 1.1$ ）

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21. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：①对任意实数x，y，都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ；②对任意 $x \in [0 ， 1) ， f (x) > 0$ ．

(1)、求 $f (0)$ ；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、若 $f (1) = 0$ ，直接写出 $f (x)$ 的所有零点（不需要证明）．

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{12}$	$2 π$
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{5 π}{12}$	$\frac{7 π}{12}$	$\frac{3 π}{4}$
y	0	2	0	-2	0

年份	$d_{0}$	b
2006	2.2	0.13
2016	2.3	0.10