北京市大兴区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a > 0$ ，则 $a \cdot \sqrt{a} =$ （）

A、 $a^{\frac{1}{2}}$ B、 $a^{\frac{3}{2}}$ C、 $a^{2}$ D、 $a^{3}$

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2. 已知集合 $A = {x | x = 2 k ， k \in Z}$ ，则（）

A、 $- 1 \in A$ B、 $1 \in A$ C、 $- \sqrt{2} \in A$ D、 $2 \in A$

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3. 下列函数中在定义域上为减函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = l g x$ C、 $y = 2^{- x}$ D、 $y = x^{3}$

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4. 当 $0 < x < 2$ 时， $x (2 - x)$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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5. 化简 $s i n θ + \sqrt{3} c o s θ =$ （）

A、 $2 s i n (θ - \frac{π}{6})$ B、 $2 s i n (θ - \frac{π}{3})$ C、 $2 s i n (θ + \frac{π}{6})$ D、 $2 s i n (θ + \frac{π}{3})$

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6. “ $φ = \frac{π}{2}$ ”是“函数 $y = \sin (x + φ)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{4}{x} - l o g_{2} x$ ，下列区间中包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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8. 在平面直角坐标系中，动点 $M$ 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若 $M$ 的初始位置坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则运动到3分钟时， $M$ 的位置坐标是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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9. 下列不等关系中正确的是（）

A、 $l n 2 + l n 3 > 2 l n \frac{5}{2}$ B、 $l n 3 - l n 2 > \frac{1}{2}$ C、 $l n 2 \cdot l n 3 < 1$ D、 $\frac{l n 3}{l n 2} < \frac{3}{2}$

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - a ， x < 1 \\ x (x - a) ， x \geq 1 \end{array}$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2)$

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二、填空题

11. 函数 $y = t a n x$ 的最小正周期是．

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12. 集合 $A = {1 ， 2}$ 的非空子集是．

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13. 将函数 $y = s i n x$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y =$ 的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y =$ 的图象．

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14. 能说明命题“如果函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的对应关系和值域都相同，那么函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是同一函数”为假命题的一组函数可以是 $f (x) =$ ， $g (x) =$ ．

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15. 已知任何一个正实数都可以表示成 $a \times 1 0^{n}$ $(1 ≤ a < 10 ， n \in Z)$ ，则 $l g a$ 的取值范围是； $2^{100}$ 的位数是．（参考数据 $l g 2 \approx 0.3010$ ）

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ， $B = {x ∣ 2^{x} < 4}$ ．

(1)、求集合 $A ∪ B$ ， $∁_{R} B$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + a x + b < 0$ 的解集为 $A ∩ B$ ，求 $a ， b$ 的值．

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17. 已知 $s i n α = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ．

(1)、求 $s i n 2 α$ ， $c o s 2 α$ 的值；

(2)、求 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、直接写出 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的单调区间；

(3)、已知 $\forall x \in R$ ， $f (a - x) = f (a + x)$ 都成立，直接写出一个满足题意的 $a$ 值．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (1 - x^{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、设 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ ，证明： $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x$ ， $g (x) = A c o s^{2} ω x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、令函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $h (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值及取得最大值时 $x$ 的值．
条件①： $A = 1 ， ω = 2$ ；条件②： $A = 2 ， ω = 1$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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21. 用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用 $x$ 个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 $f (x)$ ，且 $f (0) = 1 .$ 已知用1个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的 $\frac{1}{2}$ ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．

(1)、根据题意，直接写出函数 $f (x)$ 应该满足的条件和具有的性质；

(2)、设 $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，现用 $a$ （ $a > 0$ ）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成 $2$ 份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；

(3)、若 $f (x) = \frac{k}{1 + c e^{- r x}}$ 满足题意，直接写出一组参数 $k ， c ， r$ 的值．

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