（人教版）2022-2023学年度第一学期八年级数学14.2.1 平方差公式同步测试

试卷更新日期：2022-07-19 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列计算中错误的是（　　）

A、4a⁵b³c²÷（﹣2a²bc）²＝ab B、（a+1）（a﹣1）（a²+1）＝a⁴﹣1 C、4x²y•（﹣ $\frac{1}{2}$ y）÷4x²y²＝﹣ $\frac{1}{2}$ D、25×（ $\frac{1}{25}$ x²﹣ $\frac{1}{10}$ x+1）＝x²﹣ $\frac{5}{2}$ x+1

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2. $2 \times (3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) (3^{8} + 1) (3^{16} + 1) + 1$ 的计算结果是（）

A、 $3^{32} + 1$ B、 $3^{32} - 1$ C、 $3^{31}$ D、 $3^{32}$

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3. 如图，在边长为 $a$ 的正方形中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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4. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ $a > b > 0$ ），将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $a (a - b) = a^{2} - a b$

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5. 下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（）

A、 $4 x^{2} + 1$ B、 $- m^{2} + 1$ C、 $- a^{2} - b^{2}$ D、 $2 x^{2} - y^{2}$

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6. 若 $a^{2} - b^{2} = 10$ ， $a - b = 2$ ，则 $a + b$ 的值为（）

A、5 B、2 C、10 D、无法计算

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7. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为一个三角形的三边长，则式子 ${(a - c)}^{2} - b^{2}$ 的值（）

A、一定为正数 B、一定为负数 C、可能是正数，也可能是负数 D、可能为0

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8. 已知x，y满足 ${\begin{matrix} x + 3 y = - 1 \\ x - 3 y = 5 \end{matrix}$ ，则 $x^{2} - 9 y^{2}$ 的值为（）

A、-5 B、4 C、5 D、25

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9. 如图，从边长为 $a + 1$ 的正方形纸片中剪去一个边长为 $a - 1$ 的正方形（ $a > 1$ ），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）．

A、 $4 a$ B、 $2 a$ C、 $a^{2} - 1$ D、 $2$

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10. 记 $x = (1 + 2) (1 + 2^{2}) (1 + 2^{4}) (1 + 2^{8}) ... (1 + 2^{256}) ，$ 则x+1=（）

A、一个奇数 B、一个质数 C、一个整数的平方 D、一个整数的立方

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二、填空题

11. 引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 $i^{2} = - 1$ ，则 $(1 + i) (1 - i) =$ .

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12. 计算 $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)$ 的结果等于．

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13. $(a + 2) (a - 2) =$ ．

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14. 若m²﹣n²＝30，且m﹣n＝6，则m+n＝．

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15. 若 $(a + b + 1) (a + b - 1) = 24$ ，则 $a + b =$ ；若 $(a^{2} + b^{2} + 1) (a^{2} + b^{2} - 1) = 24$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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三、解答题

16. 已知3既是x﹣4的算术平方根，又是x＋2y﹣10的立方根，求x²﹣y²的平方根.

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17. 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．引入负数后，如1，-3等是奇数，0，-2等是偶数．任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗？写出你的判断并证明．

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18. 如图，有一位狡猾的地主，把一块边长为a的正方形的土地，租给李老汉种植，他对李老汉说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？请说明理由.

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19. 已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x²+5y²；
（2）（x﹣y）² ．

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20. 观察下列算式：39×41=40²﹣1² ， 48×52=50²﹣2² ， 65×75=70²﹣5² ， 83×97=90²﹣7²…，请你把发现的规律用字母表示出来．（给定字母m，n）

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21. 大学生小李毕业后回乡自主创业投资办养猪场，分成成猪和仔猪两个互不相邻的正方形猪场，已知成猪场的面积比仔猪场的面积大40m² ，两个猪场围墙总长80m，求仔猪场的面积．

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22. 若（x﹣1）（x+2）（x﹣3）（x+4）+a是一个完全平方式，求a的值．

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23. 两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..

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24. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）²=a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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