浙江省杭州市西湖区2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-07-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义， $x$ 的取值范围满足（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x > 1$ D、 $x < 1$

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2. 计算 $202 2^{- 1}$ 的正确结果是（）

A、2022 B、-2022 C、 $\frac{1}{2022}$ D、 $- \frac{1}{2022}$

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3. 空气的密度为 $0.00129 g / c m^{3}$ ， 0.00129这个数用科学记数法可表示为（）

A、 $0.129 \times 1 0^{- 2}$ B、 $1.29 \times 1 0^{- 2}$ C、 $1.29 \times 1 0^{- 3}$ D、 $12.9 \times 1 0^{- 1}$

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4. 如图，若 $∠ 1 = 70 °$ ，要使 $a / / b$ ，则需具备另一个条件是（）

A、 $∠ 2 = 110 °$ B、 $∠ 3 = 70 °$ C、 $∠ 4 = 105 °$ D、 $∠ 5 = 115 °$

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5. 下列计算中，正确的是（）

A、 $(- a)^{3} + a^{2} = a^{5}$ B、 $(- a)^{3} - a^{2} = - a$ C、 $(- a)^{3} \times a^{2} = - a^{5}$ D、 $(- a)^{3} \div a^{2} = a$

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6. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $a^{2} + (- b)^{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ C、 $- a^{2} - b^{2}$ D、 $- a^{2} + b^{2}$

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7. 要使多项式 $(x - p) (x - q)$ 不含 $x$ 的一次项，则（）

A、 $p + q = 0$ B、 $p q = 1$ C、 $p = q$ D、 $p q = - 1$

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8. 若 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 7 \\ \frac{1}{2} b x + 2 c y = 5 \end{array}$ 的解，则 $a - c$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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9. 如图，已知 $A B / / C D$ ， $B E$ ， $D E$ 分别平分 $∠ A B F$ 和 $∠ C D F$ ，且交于点 $E$ ，则（）

A、 $∠ E = ∠ F$ B、 $∠ E + ∠ F = 180 °$ C、 $2 ∠ E + ∠ F = 360 °$ D、 $2 ∠ E - ∠ F = 180 °$

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10. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 因式分解： $x^{2} + 2 x + 1 =$ .

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12. 计算： $x \cdot x^{3} + (2 x^{2})^{2} =$ .

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13. 若一组数据的样本容量为40，把它分成6组，前5组数据的频数分别是9，5，8，6，8则第6组数据的频率是.

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14. 某眼镜厂有工人25名，每人每天平均生产镜架9个或镜片12片.为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设x名工人生产镜架，y名工人生产镜片，则可列出方程组：.

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15. 若 $(1 + m) (2 + m) = 3$ ，则 $(1 + m)^{2} + (2 + m)^{2} =$ .

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16. 我们定义： $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，则 $f (10) =$ ；
$f (\frac{1}{20}) + f (\frac{1}{19}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (19) + f (20) =$ .

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三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 以下是圆圆计算 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$ 的解答过程.
解： $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x} = \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

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18. 解方程或方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 y - 3 x = 1 \\ x = y - 1 \end{array}$ ；

(2)、 $1 - \frac{1}{x - 1} = - 1$ .

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19. 某校随机抽取了部分学生对“最喜爱的体育跳跃类项目”进行问卷调查（每人必须选且只能选其中一项），得到两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答问题：

抽取的学生最喜爱的体育跳跃类项目的统计表

类别	项目	人数（人）
$A$	跳绳	11
$B$	跳远	$▲$
$C$	跳高	5
$D$	开合跳	$▲$
$E$	其它	4

(1)、求参与问卷调查的学生总人数.

(2)、在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

(3)、该校共有初中学生1500人，估算该校初中学生中，最喜爱“跳远和跳高”的人数.

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20. 某校有一块长为 $3 a + b$ ，宽为 $2 a + b$ 的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，空白正方形部分修建一座雕像，其中 $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、请用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示绿化面积.

(2)、当 $a = 4$ ， $b = 3$ 时，求绿化面积.

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21.

(1)、化简： $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2}$ .

(2)、利用（1）中的结果，计算 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ 的值，其中 $a = 98$ ， $b = 100$ ， $c = 102$ .

(3)、若 $a - b = 1$ ， $b - c = 2$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 7$ ，求 $a b + b c + a c$ 的值.

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22. 如图1，将长方形纸片 $A B C D$ 沿 $M N$ 折叠得到图2，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为点 $A'$ ， $B'$ ，折叠后 $A' M$ 与 $C N$ 相交于点 $E$ .

(1)、若 $∠ B' N C = 48 °$ ，求 $∠ A' M D$ 的度数.

(2)、设 $∠ B' N C = α$ ， $∠ A' M N = β$ .
①请用含 $α$ 的代数式表示 $β$ .
②当 $M A'$ 恰好平分 $∠ D M N$ 时，求 $∠ A' M D$ 的度数.

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23. 现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.

(1)、如图1，大长方形的相邻两边长分别为 $60 m$ 和 $45 m$ ，求小长方形的相邻两边长.

(2)、如图2，设大长方形的相邻两边长分别为 $a$ 和 $b$ ，小长方形的相邻两边长分别为 $x$ 和 $y$ .
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.

②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的 $\frac{1}{2}$ ，求 $x$ 和 $y$ 满足的关系式（不含a，b）.

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