安徽省六校教育研究会2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 4 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 4 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | - 4 < x < 3}$

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2. 已知i为虚数单位，则复数 $z = \frac{5 i}{1 - 2 i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 是（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 10 - 5 i$

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3. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、240 B、-240 C、120 D、-160

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4. 已知 $a = 0 . 2^{0.5}$ ， $b = 0 . 3^{0.4}$ ， $c = l o g_{0.3} 0.2$ ，则这三个数的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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5. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染 $R_{0}$ 个人，为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人中每人再传染 $R_{0}$ 个人，为第二轮传染，……. $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数 $R_{0} = 9$ ，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（）

A、4 B、12 C、16 D、20

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6. 将函数 $y = 3 s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可以得到函数 $f (x)$ 的图象C，如下结论中不正确的是（）

A、图象C的对称轴方程为 $x = \frac{1}{2} k π + \frac{π}{12} (k \in Z)$ B、图象C的对称中心为 $(\frac{1}{2} k π - \frac{π}{6} ， 0) (k \in Z)$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间 $(- \frac{5 π}{12} + k π ， \frac{π}{12} + k π) (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象C向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度可以得到函数 $y = 3 c o s 2 x$ 的图象

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7. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市成功举行，举世瞩目.中国奥运健儿取得了多项历史性的突破，比赛期间要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每人去一个场馆，每个场馆都要有人去，则不同的方案种数为（）

A、120 B、150 C、240 D、300

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8. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在球O的球面上， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，若三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{441 π}{16}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、36π D、16π

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9. 化简 $(s i n 5 ° + c o s 5 °) (1 + \sqrt{3} t a n 10 °) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $A B = 1$ ， O是 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A O}$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、3

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11. 如图，已知抛物线 $C_{1}$ 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点 $(1 ， 4)$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，过圆心 $C_{2}$ 的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则 $| P M | + 4 | Q N |$ 的最小值为（）

A、23 B、26 C、36 D、62

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) - f (- x) + 2 x^{3} + 2 x = 0$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) + 3 x^{2} + 1 < 0$ ，则不等式 $f (x + 1) - f (x) + 3 x^{2} + 3 x + 2 \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 2^{x - 1}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为.

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14. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 1$ ，若 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 16$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 58$ ，则 $\hat{b} =$ .

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15. 在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有8%，6%，4%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若 $| F_{1} M | = \sqrt{5} | O M |$ ， O为坐标原点，则双曲线C的离心率为.

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三、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $b s i n A = a c o s (B - \frac{π}{6})$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $s i n^{2} A + s i n^{2} B + s i n^{2} C$ 的取值范围.

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18. 某校教职工围棋比赛的决赛在田老师和李老师之间进行.比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜，比赛结束），若在每局比赛中，田老师获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，李老师获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，各局比赛结果相互独立.

(1)、求李老师夺冠的概率；

(2)、已知前2局中，田老师、李老师各胜1局.设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及方差.

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19. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，已知 $S_{n} = n^{2} + k n$ ， $a_{7}$ 是 $a_{4}$ 与 $a_{12}$ 的等比中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $(2 n + 3) a_{n} b_{n} = 4 S_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，且 $A B = 2$ ， $∠ A B C = 2 ∠ B A D$ ， $∠ P D C = \frac{π}{2}$ ，点 $M$ 为棱 $D P$ 的中点.

(1)、在棱 $B C$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $C M$ $∥$ 平面 $P A N$ ，并说明理由；

(2)、若 $P B ⊥ A C$ ，二面角 $B - C M - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求点 $A$ 到平面 $B C M$ 的距离.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左右焦点，点 $P_{1} (0 ， \sqrt{2})$ ， $P_{2} (- 2 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆E上.

(1)、求椭圆E的离心率；

(2)、过左焦点 $F_{1}$ 且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若 $A B$ 的中点为M，O为原点，直线 $O M$ 交直线 $x = - 3$ 于点N，求 $\frac{| A B |}{| N F_{1} |}$ 取最大值时直线l的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} - 1 - a (x + \frac{1}{x})$ ，其中 $a \in (- \infty ， \frac{1}{2}]$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、设 $h (x) = x^{2} - 2 k x + 4 (k \in Z)$ ，当 $3 a = 1$ 时，若对 $\forall a \in (0 ， 2)$ ， $\exists β \in [1 ， 2]$ ，使 $h (β) - f (α) \leq 0$ ，求k的最小值.

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