安徽省合肥六校联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} = 1} ， B = {x | a x = 1}$ ．若 $A ∩ B = B$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、1或-1 D、0或1或-1

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2. 已知复数 $z = \frac{5 i}{1 - 2 i}$ ．给出下列三个结论：① $z$ 的虚部是 $i$ ；② $| z | = \sqrt{5}$ ；③ $\bar{z} = i + 2$ ．其中错误结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 下列直线中，与曲线 $y = x e^{2 x - 1}$ 在点 $(1 ， e)$ 处的切线平行的直线是（）

A、 $y = 2 e x + 1$ B、 $y = 3 e x + 1$ C、 $y = 2 e x - e$ D、 $y = 3 e x - 2 e$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - s i n x$ ，则 $f (x)$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n A s i n B = s i n^{2} C ， a + b = 4$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 下列命题正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $s i n A > s i n B$ ”的充要条件 B、若命题 $p ： \forall x > 1 ， x^{2} > 1$ ，则命题 $\neg p ： \exists x_{0} \leq 1 ， {x_{0}}^{2} \leq 1$ C、若向量 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2

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7. 由样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，对两个变量 $y$ 和 $x$ 进行回归分析，则下列说法错误的是（）

A、由样本数据得到的回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 D、若变量 $y$ 和 $x$ 之间的相关系数为 $r = 0.95$ ，变量 $y$ 和 $x$ 之间具有较强的线性相关关系

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8. $(x + \frac{1}{x}) {(2 x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、160 B、140 C、120 D、100

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9. 在某市一次高三质量检测中，理科学生共有8600人，他们的数学成绩服从正态分布 $N (95 ， 100)$ ．如果李明同学在这次考试中的数学成绩是115分，那么他的数学成绩大约排在全市的名次为（）
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$

A、98 B、196 C、392 D、1365

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10. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是等轴双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上， $| F_{1} F_{2} | = 2 | O P |$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为8，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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11. 2022北京冬奥会期间，志愿者指挥部随机安排甲、乙等5名志愿者参加冰壶、冰球、短道速滑、花样滑冰4个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{16}$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (x + 1 ， 1) ， \vec{b} = (s i n x ， c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < λ | e^{x_{1}} - e^{x_{2}} |$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， 0]$

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二、填空题

13. 已知直线 $x - y + 3 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |$ = ．

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14. 设随机变量 $X ~ B (n ， 0.4) ， Y = \frac{1}{2} X + 2$ ，若 $E (Y) = 6$ ，则 $D (Y)$ = ．

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15. 中国古代数学史有许多光辉灿烂的篇章，“杨辉三角”就是其中十分精彩的一页．如图所示，在“杨辉三角”中，斜线 $A B$ 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$ ．

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16. 如图，直角梯形 $A B C D$ 中，四边形 $B C D E$ 为正方形， $A B = \sqrt{3} B C$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 边折起，折起后A点在平面 $B C D E$ 上的射影为 $D$ 点，则翻折后的几何体 $A - B C D E$ 中有如下描述：
① $A B ⊥ C E$ ；
②平面 $A B C ⊥$ 平面 $A D C$ ；
③ $A B$ 与 $D E$ 所成角的正切值是 $\sqrt{2}$ ；
④直线 $E A$ 与平面 $A D B$ 所成角为45°
以上描述正确的有． (把所有正确描述的序号都填上)

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1 ， a_{n} > 0$ ，再从以下三个条件中，任意选择一个，并解决下面两个问题．
① $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ ； ② $l n a_{n + 1} - l n 2 = l n a_{n}$ ； ③ ${a_{n + 1}}^{2} - a_{n} a_{n + 1} - 2 {a_{n}}^{2} = 0$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (x + \frac{π}{4}) c o s x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的值域．

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19. 甲、乙两人进行定点投篮游戏，规则是一人投篮，若投中，则继续投篮，否则由另一人投篮．已知第一次由甲投篮，每次投篮甲、乙命中的概率分别为 $\frac{1}{3} ， \frac{1}{4}$ ．

(1)、求第三次仍由甲投篮的概率；

(2)、在前3次投篮中，记甲投篮的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望

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20. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 6 0^{∘} ， A C = 2$ ，侧面 $C B B_{1} C_{1}$ 为正方形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 为 $A_{1} C$ 的中点，点 $N$ 为 $A B$ 上的动点，设 $\frac{A N}{N B} = λ$ ．

(1)、当 $λ$ 为何值时， $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ？并加以证明．

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A_{1} B C_{1}$ 的体积．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，一个焦点 $F_{1}$ 与抛物线 $y^{2} = - 4 \sqrt{2} x$ 的焦点重合．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，直线 $F_{1} A$ 与 $F_{1} B$ 关于 $x$ 轴对称，证明：直线 $l$ 恒过一定点．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 1 - l n x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值，对任意 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \geq b x - 1$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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