安徽省阜阳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ．则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 4 ， 5}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${2 ， 3}$ D、{1}

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} = i (3 + i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的实部是（）

A、1 B、3 C、-1 D、-3

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3. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} c o s x$ 在 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 上的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (5 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 2) = 0.2$ ，则 $P (2 < X < 8) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.6 D、0.8

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5. “寸影千里法”是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法．其具体做法是：在同一天（如夏至）的中午，在南北方向上的两地分别竖起同高的表杆，然后测量表杆的影长，并根据日影差一寸实地相距千里的原则推算两地距离．如图，把太阳看成质点 $P$ ，古人在夏至当天，分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为3尺的表杆AE与BF，AE与BF在地面的影长分别为AC与BD，再按影长AC与BD的差用“寸影千里法”来推算A，B两地的距离．若 $∠ E C A = 60 °$ ， $∠ F D B = 30 °$ ，则按照“寸影千里法”的原则，A，B两地的距离大约为（）（一尺等于十寸）

A、 $2000 \sqrt{3}$ 里 B、 $20000 \sqrt{3}$ 里 C、 $1000 \sqrt{3}$ 里 D、 $10000 \sqrt{3}$ 里

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6. 函数 $f (x) = s i n 2 x + 4 c o s x$ 的图象在 $x = x_{0}$ 处切线斜率的最小值为（）

A、-6 B、-5 C、2 D、3

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ， $M$ 是双曲线 $C$ 上一点，若 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ， $\vec{O M} \cdot \vec{O F_{2}} = \frac{1}{2} c^{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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8. 无穷数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2^{n}$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、 ${a_{n}}$ 为递增数列 C、 ${a_{n}}$ 中存在三项成等差数列 D、 ${a_{n}}$ 中偶数项成等比数列

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9. 已知棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正四棱柱，底面正方形 $A B C D$ 的边长为2，正四棱柱外接球的体积为 $\frac{9 π}{2}$ ，则异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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10. 若 $a = l g 2 \cdot l g 5$ ， $b = \frac{l n 2}{2}$ ， $c = \frac{l n 3}{3}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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11. 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $(a - 1) x + l n (a x) \leq e^{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， e]$ C、 $(0 ， 2 e]$ D、 $(0 ， e^{2}]$

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12. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式 ${(a + b)}^{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot)$ 展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第 $k (k \leq n ， k \in N^{*})$ 个数组成的数列称为第 $k$ 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第 $k$ 斜列与第 $k + 1$ 斜列各项之和最大时， $k$ 的值为（）

A、1009 B、1010 C、1011 D、1012

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二、填空题

13. 已知 $A ∩ B = A$ ，若 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.9$ ，则 $P (A | B) =$ ．

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14. 为了帮助某市A，B，C三个地区进行核酸检测，某医院派出甲、乙，丙、丁四个医疗队前去支援，要求每个地区至少安排一个医疗队．若甲、乙不都去A地区，一共有种分配方法．（用数字作答）

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15. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．将函数 $f (x) = c o s \frac{π}{2} x$ 的图象向右平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 为 $g (x)$ 图象上两点，当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $y = g (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处取得极大值，在 $x = x_{2}$ 处取得极小值，则线段 $A B$ 的垂直平分线方程为； $△ O A B$ 外接圆的方程为．

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16. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，底面边长为2，D，E，F，M，N分别为棱AC，AB，BC， $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P为线段MN上的动点，则三棱锥 $P - D E F$ 内切球半径的最大值为．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} = 5$ ， $S_{4} = 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 $b_{n} =$ __________，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．
请在① $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， ② $\sqrt{S_{n}} \cdot 2^{\frac{a_{n} + 1}{2}}$ ， ③ ${(- 1)}^{n} S_{n}$ 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且 $A B = 4$ ．

(1)、若 $P A = A B$ ，证明： $P C ⊥$ 平面AMN．

(2)、若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长．

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19. 为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$a$
0.15
0.10
0.05
0.010
$χ_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

(1)、若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：

前20名人数
第21至第500名人数
合计
男生
15
300
女生
195
合计
20
500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．

(2)、假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $2 a c o s A + b c o s C + c c o s B = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求BC边上中线AD长的最小值．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程．

(2)、如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线 $x = 4$ 交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{3} = λ k_{2}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对任意的 $x \in D$ ， $f (x) \geq N (N \in R)$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为“有下界函数”，其中 $N$ 的最大值称为函数 $f (x)$ 的“下确界”．已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 1) + x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，证明： $f (x)$ 为“有下界函数”，并求出 $f (x)$ 的“下确界”．

(2)、若函数 $f (x)$ 为“有下界函数”，求实数 $a$ 的取值范围．

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	前20名人数	第21至第500名人数	合计
男生	15		300
女生		195
合计	20		500

$a$	0.15	0.10	0.05	0.010
$χ_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635