（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学24.6 实数与向量相乘同步测试

试卷更新日期：2022-07-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $c$ 为非零向量， $a = 2 c ， b = - 3 c$ ，那么下列结论中，不正确的是（）

A、 $| a | = \frac{2}{3} | b |$ B、 $a = - \frac{3}{2} b$ C、 $3 a + 2 b = 0$ D、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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2. 已知 $\vec{a}$ ＝2 $\vec{b}$ ，那么下列判断错误的是（）

A、 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ＝0 B、 $\vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a}$ C、| $\vec{a}$ |＝2| $\vec{b}$ | D、 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$

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3. 已知 $\vec{a} = 7 \vec{b}$ ，下列说法中错误的是（）

A、 $\vec{a} - 7 \vec{b} = 0$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同 C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = 7 | \vec{b} |$

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4. 已知 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 都是单位向量，下列结论中，正确的是（）

A、 $e_{1} = e_{2}$ B、 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} = 0$ C、 $| \vec{e_{1}} | + | \vec{e_{2}} | = 2$ D、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} = 2$

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5. 已知 $a ， b ， c$ 是非零向量，下列条件中不能判定 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $a = 3 b$ C、 $| a | = | b |$ D、 $a = \frac{1}{2} c ， b = - 2 c$

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6. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，而且 $\vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 的方向相反，那么下列结论中正确的是（）

A、 $3 \vec{a} = 2 \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} = 3 \vec{b}$ C、 $3 \vec{a} = - 2 \vec{b}$ D、 $2 \vec{a} = - 3 \vec{b}$

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7. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列条件中，不能判定 $\vec{a}$ $//$ $\vec{b}$ 的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ； B、 $\vec{a} = - \vec{b}$ ； C、 $\vec{a}$ $//$ $\vec{c}$ ， $\vec{b}$ $//$ $\vec{c}$ ； D、 $\vec{a} = 2 \vec{c}$ ， $\vec{a} = 4 \vec{c}$ ．

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8. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 都是非零向量，下列条件中，不能判断 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} = 3 \vec{b}$ C、 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ D、 $\vec{a} = 2 \vec{c}, \vec{b} = - 2 \vec{c}$

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9. 如果向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 的方向相反，且长度为3，那么用向量 $\vec{e}$ 表示向量 $\vec{a}$ 为（）

A、 $\vec{a} = 3 \vec{e}$ B、 $\vec{a} = - 3 \vec{e}$ C、 $\vec{e} = 3 \vec{a}$ D、 $\vec{e} = - 3 \vec{a}$

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10. 已知 $\overset{⇀}{e}$ 是单位向量，且 $\overset{⇀}{a} = - 2 \overset{⇀}{e}$ ， $\overset{⇀}{b} = 4 \overset{⇀}{e}$ ，那么下列说法错误的是（）

A、 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ B、 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ C、 $| \overset{⇀}{b} | = - 2 | \overset{⇀}{a} |$ D、 $\overset{⇀}{a} = - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b}$

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二、填空题

11. 计算： $2 (3 \vec{a} + 2 \vec{b}) - 5 \vec{a} =$ ．

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12. 如果向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{x}$ 满足 $\frac{1}{2} (\vec{x} + \vec{a}) = \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ ，那么 $\vec{x} =$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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13. 如果向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 方向相反，长度为 $\frac{1}{2}$ ，那么向量 $\vec{a}$ 用单位向量 $\vec{e}$ 表示为．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 的方向相反，且长度为2，那么用 $\vec{e}$ 表示 $\vec{a} =$ .

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15. $\vec{e}$ 为单位向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的方向相反，且长度为6，那么 $\vec{a}$ = $\vec{e}$ .

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三、解答题

16. 如图，已知△ABC ，点D在边AC上，且AD＝2CD ， AB∥EC ，设 $\overset{⇀}{B A}$ ＝ $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{B C}$ ＝ $\overset{⇀}{b}$ ．

(1)、试用 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 表示 $\overset{⇀}{C D}$ ；

(2)、在图中作出 $\overset{⇀}{B D}$ 在 $\overset{⇀}{B A}$ 、 $\overset{⇀}{B C}$ 上的分向量，并直接用 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 表示 $\overset{⇀}{B D}$ ．

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17. 请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a}$ =（x₁ ， y₁）， $\vec{b}$ =(x₂ ， y₂)满足下列条件：
①| $\vec{a}$ |= $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ，| $\vec{b}$ |= $\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$

② $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b} = | \overset{⇀}{a} | \times | \overset{⇀}{b} | \cos α$ （角 $α$ 的取值范围是0°< $α$ <90°）；

③ $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a}$ =（1， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{b}$ =（- $\sqrt{3}$ ，3），求角 $α$ 的大小；

解：∵| $\vec{a}$ |= $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ = $\sqrt{1^{2} + （ \sqrt{3} ）^{2}} =2$ ，

$\vec{b}$ = $\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} = \sqrt{（ - \sqrt{3})^{2} + 3^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

∴ $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b} = | \overset{⇀}{a} | \times | \overset{⇀}{b} | \cos α$ =2×2 $\sqrt{3}$ cos $α$ =4 $\sqrt{3}$ cos $α$

又∵ $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ = $l$ ×（- $\sqrt{3}$ ）+ $\sqrt{3}$ ×3=2 $\sqrt{3}$

∴4 $\sqrt{3}$ cos $α$ =2 $\sqrt{3}$ ，

∴cos $α$ = $\frac{1}{2}$ ，∴ $α$ =60°

$∴$ 角 $α$ 的值为60°．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，求角 $α$ 的大小．

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18.
已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC=2：1．
=
（1）设 $\vec{B A} = \vec{a} ， \vec{B C} = \vec{b}$ ，先化简，再求作： $(- 2 \vec{a} - \vec{b}) - (- 3 \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b})$ ；
（2）用 $x \vec{a} + y \vec{b}$ （x、y为实数）的形式表示 $\vec{B D}$ ．

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四、综合题

19. 如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．

(1)、求证：FG∥AB；

(2)、设 $\vec{C A}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{C B}$ ＝ $\vec{b}$ ，请用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{G F}$ ．

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20. 如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F ，交BD于点G ， AE：AB＝1：3，设 $\vec{B A}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{B C}$ ＝ $\vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 分别表示下列向量：
$\vec{A E}$ ＝， $\vec{E C}$ ＝， $\vec{E G}$ ＝；

(2)、在图中求作向量 $\vec{B G}$ 分别在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）

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21. 已知：如图， $△ A B C$ 中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1．

(1)、设 $\vec{BA} = \vec{a} ， \vec{BC} = \vec{b}$ ，先化简，再求作： $(3 \vec{a} + \vec{b}) - (2 \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b})$ （直接作在图中）；

(2)、用 $x \vec{a} + y \vec{b}$ （x、y为实数）的形式表示 $\vec{B D}$ ．

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22. 如图，梯形 ABCD 中，AB//CD，且 $\frac{A B}{C D} = \frac{4}{3}$ ，点 E 是 CD 的中点，AC 与 BE 交于点 F，若 $\overset{⇀}{A B} = \vec{m} ， \overset{⇀}{A D} = \vec{n} .$

(1)、请用 $\vec{m} ， \vec{n}$ 来表示 $\vec{A F}$ ；

(2)、请在图中画出 $\vec{E B}$ 在 $\vec{m} ， \vec{n}$ 方向上的分向量.（不要求写出作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

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23. 已知：线段DE分别交△ABC的边BA、CA的延长线于点D、E，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E} = \frac{3}{2}$ ，△ABC的周长是6cm，

(1)、求△ADE的周长；

(2)、如果 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，求作： $(- 2 \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) + 3 \vec{a}$ ．

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24. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE $∥$ BC，DF $∥$ AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且 $\frac{A E}{E C} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；

(2)、联结EF，设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用含 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的式子表示 $\vec{E F}$ ．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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