浙江省舟山市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} ， M = {1 ， 2 ， 3} ， N = {0 ， 1}$ ，则 $(∁_{U} M) ∪ N =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ D、{0}

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2. 已知函数 $y = l o g_{a} x - 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则该函数图象恒过定点（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(1 ， 0)$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $| x | < 3$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = s i n x \cdot l n \frac{2 - c o s x}{2 + c o s x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 m x - m^{2} ， & x \leq m \\ x - m ， & x > m \end{array}$ ，若 $f (a - 4) > f (3 a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- 2 ， m)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 2)$

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6. 已知空间中三条不重合的直线 $m ， a ， b$ ，两个不重合平面 $α ， β$ ，以下证明推导过程错误的是（）

A、 $\begin{array}{l} α / / β \\ m \subset α \end{array}} \Rightarrow m / / β$ B、 $\begin{array}{l} a / / α \\ a \subset β \\ α ∩ β = b \end{array}} \Rightarrow a / / b$ C、 $\begin{array}{l} α ⊥ β \\ m ⊄ α \\ m ⊥ β \end{array}} \Rightarrow m / / α$ D、 $\begin{array}{l} m ⊄ α \\ m ⊥ a ， m ⊥ b \\ a ， b \subset α \end{array}} \Rightarrow m ⊥ α$

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7. 下列有关平面向量的说法中，错误的是（）

A、若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} | = 2$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的最小值是 $3$ B、若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} | = 2$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的最大值是 $5$ C、若平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $(\frac{8}{5} ， \frac{4}{5})$ D、已知 $△ A B C$ ，若对任意 $t \in R$ ，均有 $| \vec{B A} - t \vec{B C} | \geq | \vec{A C} |$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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8. 定义 $c h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} (x \in R)$ 为双曲余弦函数， $s h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} (x \in R)$ 为双曲正弦函数，它们是一类与三角函数类似的函数.类比同角三角函数的平方关系，可以写出 $s h (x)$ 与 $c h (x)$ 的关系式： ${[s h (x)]}^{2} - {[c h (x)]}^{2} = - 1$ .若 $x \in [l n 2 ， l n 3]$ ，不等式 $[c h (x)]^{2} - a \cdot s h (x) > 5$ 恒成立，则实数 $a$ 取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5}{3})$ B、 $(- ∞ ， - \frac{55}{12})$ C、 $(- \frac{55}{12} ， - \frac{5}{3})$ D、 $(- ∞ ， \frac{e^{4} - 18 e^{2} + 1}{2 e (e^{2} - 1)})$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = \frac{2}{- 1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），下列说法正确的是（）．

A、 $z_{1}$ 对应的点在第三象限 B、 $z_{1}$ 的虚部为-1 C、 $z_{1}^{4} = 4$ D、满足 $| z | = | z_{1} |$ 的复数 $z$ 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如下图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的解折式为 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的新函数为奇函数 D、函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴方程是 $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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11. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（）

A、在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 $\frac{3}{5}$ B、第二次取到1号球的概率 $\frac{19}{30}$ C、如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D、如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种

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12. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点（不含端点），下列结论中正确的是（）

A、三棱锥 $D_{1} - C D P$ 的体积为定值 B、平面 $D_{1} D P$ 与平面 $C_{1} C P$ 所成锐二面角为 $θ$ ，则 $c o s θ \in [\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、直线 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{3}$ D、平面 $A P D_{1}$ 截正方体所得的截面可能是直角三角形

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三、填空题

13. 已知角 $θ$ 顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边过点 $P (3 ， 1)$ ，则 $s i n θ =$ .

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14. $(x + 2) {(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的常数项为.

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15. 已知等腰 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b s i n B + (c - b) s i n C = a s i n A$ ，延长线段 $B C$ 至 $D$ ，使 $B D = 5$ ，若 $△ A C D$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，则 $A D =$ .

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16. 对 $\forall k \geq 1 ， \exists x \in [2 ， 4]$ ，使不等式 $(x^{k} + x + k l n x) \cdot e^{x} \geq a e^{x} + e^{a}$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x - \frac{1}{2} (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A C D = \frac{π}{2} ， D$ 是线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C} ， F$ 为线段 $A B$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的值；

(2)、求 $\vec{C F} \cdot \vec{F A}$ 的值.

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19. 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本 $C (x)$ （万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本 $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 1100$ ；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本 $C (x) = 120 x + \frac{4500}{x - 90} - 5400$ .每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

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20. 京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.2017年6月18日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区2022年 $1$ 到5月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示：
2022年
1月
2月
3月
4月
5月
时间代码 $x$
1
2
3
4
5
配送比率 $y$
14
28
35
41
46

(1)、如果用回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} l n x$ 进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程；
$\sum_{i = 1}^{5} l n x_{i} \approx 5$ ， $\sum_{i = 1}^{5} l n x_{i} \cdot y_{i} \approx 188$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(l n x_{i})}^{2} \approx 6.2$ .
参考公式：若 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，则 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \cdot (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$

(2)、已知某收件人一天内收到8件快递，其中京东快递3件，菜鸟包裹3件，邮政快递2件，现从这些快递中任取4件， $X$ 表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量 $X$ 的分布列以及随机变量 $X$ 的数学期望.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = A B = 4 ， P B = 4 \sqrt{2} ， ∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $P C$ 的中点，求直线 $B M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{4}{x} - a |$ ， $g (x) = x + | \frac{4}{x} - a |$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调区间和单调性相同，试探究方程 $g (x) = f (x) + 1$ 的实根的个数.

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2022年	1月	2月	3月	4月	5月
时间代码 $x$	1	2	3	4	5
配送比率 $y$	14	28	35	41	46