浙江省温州市浙南名校联盟2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $i$ 是虚数单位， $x + 2 i = {(1 + i)}^{2}$ ，则实数 $x =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、0

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2. 已知全集 $U = {x | - 3 < x < 3}$ ，集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 2 ， 1]$ B、 $(- 3 ， - 2) ∪ [1 ， 3)$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $(- 3 ， - 2] ∪ (1 ， 3)$

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3. 若圆锥侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（）

A、3：2 B、2：1 C、4：3 D、5：3

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4. 若正数 $a ， b$ 满足 $a + b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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5. 已知直线 $k x - y + k - 1 = 0$ 与圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{4} ， 0]$ B、 $(0 ， \frac{3}{4})$ C、 $[0 ， \frac{3}{4}]$ D、 $(- \frac{3}{4} ， 0)$

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6. 已知 $t a n α = 2$ ，求 $s i n 2 α + c o s 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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7. 在二项式 ${(\sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2} x)}^{n}$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第4项系数为（）

A、7 B、-7 C、 $\frac{35}{8}$ D、 $- \frac{7}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = {(\frac{x}{e^{x}})}^{2} + \frac{a x}{e^{x}} - 2 a$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ （其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），则 ${(2 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (2 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (2 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}}) =$ （）

A、1 B、4 C、16 D、64

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二、多选题

9. 已知数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{10}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ .由这组数据得到新数据 $y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{10}$ ，其中 $y_{i} = 3 x_{i} + 2 (i = 1 ， 2 ， \dots ， 10)$ ，则（）

A、新数据的平均数是 $3 \bar{x} + 2$ B、新数据的方差是 $9 s^{2} + 4$ C、新数据的平均数是 $3 \bar{x}$ D、新数据的标准差是 $3 s$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} ， 1)$ ， $\vec{b} = (c o s θ ， s i n θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题不正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = - \sqrt{2}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{6} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、与 $\vec{a}$ 共线的单位向量只有一个为 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、存在 $θ$ ，使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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11. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，且 $A B = 4 ， C D = 2 ， A D = 2$ ，以下选项正确的为（）

A、 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 6$ B、等腰梯形 $A B C D$ 外接圆的面积为2π C、若双曲线以 $A ， B$ 为左右焦点，过 $C ， D$ 两点，则其离心率为 $\sqrt{3} + 1$ D、若椭圆以 $C ， D$ 为左右焦点，过 $A ， B$ 两点，则其离心率为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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12. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与直线 $B_{1} C$ 所成的角为45° C、存在点 $M$ ，使得三棱锥 $D_{1} - C_{1} D M$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、不存在点 $M$ ，使得 $α > β$ ，其中 $α$ 为二面角 $M - A A_{1} - B$ 的大小， $β$ 为直线 $M A_{1}$ 与直线 $A B$ 所成的角

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数，则 $a =$ .

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14. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l ， A B$ 是抛物线上过焦点的一条直线，且倾斜角为 $\frac{π}{6}$ .求线段 $| A B |$ 的值是.

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15. 设函数 $f (x) = x e^{x} - a (x - 1)$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < a$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到 $1 ， 3 ， 2$ ；第二次拓展得到数列 $1 ， 4 ， 3 ， 5 ， 2 ； ⋯ ⋯$ ；第 $n$ 次拓展得到数列 $1 ， x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ⋯ ， x_{t} ， 2$ .设 $a_{n} = 1 + x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{t} + 2$ ，其中 $t =$ ， $a_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} ， & n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， & n 为偶数 \end{array}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，写出 $b_{1} ， b_{2}$ ，并求出数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前2022项和 $S_{2022}$ .

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18. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.甲､乙是单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种.

(1)、甲在每次挑战中，成功的概率都为0.7.设 $X$ 为甲在3次挑战中成功的次数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、乙在第一次挑战时，成功的概率为 $0.7$ ，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加 $0.1$ ；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.求乙在3次挑战中有且只有2次成功的条件下，第三次成功的概率.

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19. 请从下面三个条件中任选一个补充在下面横线上，并作答.
① $a s i n A + b s i n B = c s i n C + b s i n A$ ；② $2 c o s C (a c o s B + b c o s A) = c$ ；③ $\frac{\sqrt{3}}{3} a s i n C - c c o s B c o s C = b c o s^{2} C$ .
已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若点 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $c = 2 ， C D = \sqrt{3}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状.
注：如果选择多个条件，按第一个解答计分.

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20. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P B ， ∠ A P B = ∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，点 $E ， F$ 分别是棱 $A B ， P B$ 的中点，点 $G$ 是 $△ B C E$ 的重心.

(1)、证明： $G F$ $∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $△ E B C$ 为正三角形，求平面 $B A P$ 与平面 $A P C$ 夹角的余弦值.

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21. 在一张纸上有一圆 $C ： (x + 2 \sqrt{3})^{2} + y^{2} = 36$ ，定点 $M (2 \sqrt{3} ， 0)$ ，折叠纸片 $C$ 上的某一点 $M_{1}$ 恰好与点 $M$ 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 $K Q$ ，设折痕 $K Q$ 与直线 $M_{1} C$ 的交点 $T$ .

(1)、证明： $∥ T C | - | T M ∥$ 为定值，并求出点 $T$ 的轨迹 $C^{'}$ 的轨迹方程；

(2)、若曲线 $C^{'}$ 上一点 $P$ ，点 $A ， B$ 分别为 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 在第一象限上的点与 $l_{2} ： y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 在第四象限上的点，若 $\vec{A P} = λ \vec{P B} ， λ \in [\frac{1}{3} ， 2]$ ，求 $△ A O B$ 面积的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = a x - l n x ， a \in R$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $e^{x - 1} \geq x f (x)$ 在定义域上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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