浙江省温州市新力量联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 2 ， x \in N}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、{2} D、 $\emptyset$

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2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{x + 1}$ 与 $g (x) = x - 1$ B、 $f (x) = 2 | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{4 x^{2}}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = \sqrt{x + 1} \sqrt{x - 1}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = - x^{2}$ D、 $y = l n | x |$

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4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）

A、0.02 B、0.28 C、0.72 D、0.98

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5. 已知复数z满足 $\bar{z} = 1 + 2 i$ ，则 $z \cdot (3 - 2 i) =$ （）

A、1＋8i B、1－8i C、－1－8i D、－1＋8i

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6. “圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (2 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{41}$ C、5 D、25

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8. 已知 $s i n θ + c o s θ = - \frac{1}{5}$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $- \frac{7}{5}$

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9. 设 $a = l o g_{\frac{1}{3}} 2$ ， $b = l o g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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10. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n (π - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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11. “ $a < 11$ ”是“ $\exists x \in R ， x^{2} - 2 x + a < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 函数 $g (x) = \frac{(x + 1) \lg | x |}{| x + 1 |}$ 的图象向右平移1个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13. 设 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 是平面内两个不共线的向量， $\vec{A B} = (a - 1) {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{A C} = 2 b {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}$ $a > 0$ ， $b > 0$ ，若A，B，C三点共线，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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14. 如图，平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于 $B C$ ， $A B \subset α$ ， $C D \subset β$ ，点 $A \notin B C$ ，点 $D \notin B C$ ，则下列叙述中错误的是（）

A、直线AD与 $B C$ 是异面直线 B、过AD只能作一个平面与 $B C$ 平行 C、直线AD不可能与 $B C$ 垂直 D、过D只能作唯一平面与 $B C$ 垂直，但过D可作无数个平面与 $B C$ 平行

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15. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处 $C$ 点的高度，小王在场馆内的 $A ， B$ 两点测得 $C$ 的仰角分别为 $4 5^{∘} ， 3 0^{∘} ， A B = 60$ （单位： $m$ ），且 $∠ A O B = 3 0^{∘}$ ，则大跳台最高高度 $O C =$ （）

A、 $45 m$ B、 $45 \sqrt{2} m$ C、 $60 m$ D、 $60 \sqrt{3} m$

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二、多选题

16. 某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在 $[40 ， 90]$ 内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90]$ 这五组），则下列结论正确的是（）

A、直方图中 $a = 0.005$ B、此次比赛得分及格的共有55人 C、以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75 D、这100名参赛者得分的第80百分位数为75

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17. 已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ， $a ∩ β = n$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $a ∩ β = n$ ， $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ ，则 $n ⊥ γ$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $α / / γ$ ，则 $β / / γ$

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1} - 2^{x} (x > 1)$ ， $g (x) = \frac{x}{x - 1} - l o g_{2} x (x > 1)$ 的零点分别为 $α$ ， $β$ ，给出以下结论正确的是（）

A、α+β=αβ B、 $α + 2^{α} = β + l o g_{2} β$ C、 $α + β > 4$ D、 $α - β > - 1$

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三、填空题

19. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $b = 1$ ， $A = 45 °$ ， $B = 30 °$ ，则 $a =$ ， $S_{△ A B C} =$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x ， x < 0 ， \\ \sqrt{x} ， x \geq 0 ， \end{array}$ 则方程 $f (x) = 1$ 的解为．

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21. 数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，13，35，22的80%分位数为．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，M为AB的中点，点O满足 $\vec{O C} = - 2 \vec{O M}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 8$ ，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} | =$ ．

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四、解答题

23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求 $f (\frac{5 π}{12})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间．

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24. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ P A B = 90 °$ ， $C B ⊥$ 平面PAB， $A D / / B C$ 且 $P B = B C = 2 A D = 2 A B = 2$ ， F为PC中点．

(1)、求证： $D F / /$ 平面PAB；

(2)、求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

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25. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x | x - a | + 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最小值为0，求a的值；

(3)、当 $a > 0$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $(m, n)$ 上既有最大值又有最小值，且 $n - m \leq | a - 1 | + | a b - 1 |$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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