浙江省宁波市九校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {1 ， 3} ， B = {1 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} A) ∪ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 3 ， 4}$

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2. 若 $(a + b i) \cdot i = 1 + i$ （ $a ， b \in R$ ， i为虚数单位），则 $a + b =$ （）

A、2 B、0 C、-2 D、1

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3. 已知 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，则下列选项中正确的是（）

A、若 $m ⊥ n ， m ∥ α ， n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ∥ n ， α ∩ γ = m ， β ∩ γ = n$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ∥ β ， β ∥ γ ， m \subset α ， n \subset γ$ ，则 $m ∥ n$

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4. 若 $2^{a} + 1 = 3^{b} + 2 = 5^{c} + 3 ， a ， b ， c \in R$ ，则（）

A、 $c l n 5 > a l n 2 > b l n 3$ B、 $a l n 2 > c l n 5 > b l n 3$ C、 $b l n 3 > c l n 5 > a l n 2$ D、 $a l n 2 > b l n 3 > c l n 5$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} - 1 ， x > 0 ， \\ \frac{1}{4} x^{2} + x ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有2个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞) \cup {- 1}$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = e^{| x - 2 |}$ ，使不等式 $f (2 t + 1) > f (t + 2)$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $t > - 1$ B、 $t > 1$ 或 $t < 0$ C、 $t > 1$ 或 $t < \frac{1}{3}$ D、 $t < \frac{1}{3}$ 或 $t > \frac{2}{3}$

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7. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的底面边长为4，侧棱长为 $\sqrt{13}$ ，其内切球 $O$ 与两侧面 $S A B$ ， $S A D$ 分别切于点 $P ， Q$ ，则 $P Q$ 的长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{9}$

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8. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 和实数 $t$ 满足 $4 a^{2} + 2 t a b + b^{2} = 4$ ，若 $2 a + b$ 存在最大值，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ ，若存在实数 $a ， b (a < b)$ ，有 $f (a) f (b) < 0$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b > 0$ C、 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内有两个零点 D、若 $f (\frac{a + b}{2}) < 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(\frac{a + b}{2} ， b)$ 内有零点

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10. 若 $a (x + 1)^{6} - (x - 1)^{5} = x^{6} + a_{1} x^{5} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{2} + a_{5} x + a_{6}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a = 1$ B、 $a_{5} = 6$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 62$ D、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} = - 29$

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11. 下列说法正确的是（）

A、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = l n y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.5 x + 1$ ，则 $c ， k$ 的值分别是 $e ， 0.5$ B、从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 $\frac{C_{5}^{1} C_{14}^{3}}{C_{15}^{4}}$ C、若随机变量 $X \sim B (9 ， \frac{1}{3})$ ，则 $D (2 X + 1) = 8$ D、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好

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12. 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以 $A_{1} ， A_{2}$ 分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以 $B_{1} ， B_{2}$ 分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A_{1}$ 与事件 $A_{2}$ 互斥 B、事件 $B_{1}$ 与事件 $A_{2}$ 相互独立 C、 $P (B_{1} | A_{2}) = \frac{5}{7}$ D、 $P (B_{2}) = \frac{9}{14}$

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三、填空题

13. 设随机变量 $X ∼ N (0 ， 1)$ ，若 $P (X \leq x_{0}) = 0.7$ ，则 $P (| X | \leq x_{0}) =$ .

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14. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{e}$ 满足 $| \vec{e} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{e} = 1 ， \vec{b} \cdot \vec{e} = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最小值为.

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15. 编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 的5个小球，放入编号为 $1 ， 2 ， 3$ 的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有种.（填写数字）

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的棱长均为 $1 ， B C \subset$ 平面 $α ， E$ 为 $P B$ 中点， $l ⊥ α$ .记 $l$ 和直线 $A E$ 所成角为 $θ$ ，则该三棱锥绕 $B C$ 旋转的过程中， $s i n θ$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π) ， (\frac{π}{4} ， 0)$ 是该函数图象的对称中心

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (C) = - \frac{1}{2} ， C > \frac{π}{3}$ ， $c = 1$ ，求 $a + 2 b$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = l n (\frac{2 + a x}{x}) (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若关于 $x$ 方程 $f (x) = l n [(2 - a) x + 3 a - 3]$ 有两个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 为了检测新冠疫苗的效果，需要进行动物试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按 $[0 ， 20) ， [20 ， 40) ， [40 ， 60) ， [60 ， 80) ， [80 ， 100]$ 分组，每组分别有10只，20只，40只，100只，30只.试验发现小白鼠体内没有产生抗体的共有40只，其中该项指标值小于60的有20只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）参考数据：
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
$k_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

(1)、完成如图所示列联表，并根据列联表及 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计

(2)、用频率估计概率，以动物试验中小白鼠注射疫苗后产生抗体的频率 $p$ 作为注射疫苗后产生抗体的概率.记 $n$ 只小白鼠注射疫苗后产生抗体的数量为随机变量 $X$ .试验后统计数据显示，当且仅当 $X = 80$ 时， $P (X)$ 取最大值，求参加接种试验的小白鼠数量 $n$ .

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20. 某数学教师任教 $A ， B$ 两个班级，在一次数学测试中，经统计： $A$ 班学生人数50，平均成绩是81，方差为5； $B$ 班学生人数40，平均成绩90，方差为5.在任教班级中按照分层随机抽样抽取9人，再从中随机抽取6人.

(1)、若随机抽取的6人成绩分别为88，87，86，85，84，83，求这6人成绩的第50百分位数；

(2)、随机抽取的6人中，记来自 $A$ 班的学生数为 $X$ ，请写出 $X$ 的分布列，求数学期望 $E (X)$ ；

(3)、求该教师所任教的所有学生在这次考试中数学成绩的均值与方差.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为梯形，其中 $A D ∥ B C ， A D = 3 ， A B = B C = 2 ， C D = \sqrt{3}$ ，点 $M$ 在棱 $P D$ 上，点 $N$ 为 $B C$ 中点.

(1)、记平面 $P B C ∩$ 平面 $P A D = l$ ，判断直线 $l$ 和直线 $B C$ 的位置关系，并证明；

(2)、若二面角 $P - D C - A$ 的大小为 $4 5^{∘} ， M$ 是靠近 $P$ 的三等分点，求 $N M$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a$ .

(1)、若 $a = 4$ ，记函数 $h (x) = | \frac{f (x)}{x} |$ .当 $x > 0$ 时，写出 $h (x)$ 的增区间.（不需要证明）；

(2)、记函数 $m (x) = | x^{4} + | f (x) | - 3 |$ .若 $m (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上最大值是2，求 $a$ 的值；

(3)、记函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，对 $\forall x \in (0 ， 1)$ ，有 $g (x) g (1 - x) \geq 1$ 成立，求实数 $a$ 取值范围.

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.100	0.050	0.025
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

抗体	指标值		合计
抗体	小于60	不小于60	合计
有抗体
没有抗体
合计