浙江省金华十校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 2} ， B = {0 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{3} B、{0} C、 ${0 ， 2}$ D、 ${0 ， 3}$

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2. 已知复数z满足 $zi = 2 + i$ ，i是虚数单位，则复数 $z = ($ 　　 $)$

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. “ $a > b > 0$ ”是“ $a^{2} > b^{2} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 垃圾分类已逐步变为每个人的日常，垃圾分类最终的目的是资源再利用、是变废为宝，是利国利民的大好事．如塑料垃圾，通过分类回收可以再利用，而流入大自然则会对环境造成长期的污染，直至完全分解．已知某塑料垃圾的自然分解率y与时间t（年）满足函数关系式 $y = \frac{1}{200} a^{t}$ （其中a为非零常数）．若经过10年，这种垃圾的分解率为1%，那么经过50年，这种垃圾的分解率大约是（）

A、80% B、64% C、32% D、16%

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5. 某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高（ $c m$ ）
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
平均体重（ $k g$ ）
6.13
7.9
10
12.2
15
17.5
20.9
26.9
31.1
38.6
47.3
55.1
表格中的数据形成图所示的散点图．则在以下函数模型中，描述这个地区未成年男性平均体重y（单位： $k g$ ）与身高x（单位： $c m$ ）的函数关系最合适的是（）

A、 $y = 0.5 x - 25$ B、 $y = 2 \cdot (1.02)^{x}$ C、 $y = 10 l g x - 5$ D、 $y = 0.01 x^{2} - 0.5 x$

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6. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，向量 $\vec{c} = λ (\vec{a} - \vec{b}) (λ \in R)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $| \vec{a} - \vec{c} |$ 的最小值是1 D、 $| \vec{a} - \vec{c} |$ 的最大值是2

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7. 为了解高中生性别与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：

女生
男生
数学成绩优异
20
7
数学成绩一般
10
13
由以上数据，计算得到 $K^{2} = \frac{50 \times (13 \times 20 - 10 \times 7)^{2}}{23 \times 27 \times 20 \times 30} \approx 4.844$ ，根据临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
以下说法正确的是（）

A、没有95%的把握认为性别与数学成绩有关 B、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为性别与数学成绩有关 C、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与数学成绩无关 D、若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化

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8. 已知曲线 $f (x) = | l n x |$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 与 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处的切线互相垂直且相交于点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，则（）

A、 $x_{1} \cdot x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} \cdot x_{2} = e$ C、 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $x_{0} = \frac{2}{x_{1} + x_{2}}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + 1$ ，则 $f (x)$ （）

A、最大值为2 B、最小值为-2 C、是奇函数 D、是偶函数

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10. 已知函数 $f (x) = | x + 3 | ， g (x) = | 2 x - 1 |$ ，以下函数存在最小值的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ B、 $f (x) - g (x)$ C、 $f (x) g (x)$ D、 $\frac{f (x)}{g (x)}$

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11. 在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量y（单位：万件）之间的关系时，得到一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，求得经验回归方程为 $\hat{y} = 1.5 x + 0.5$ ，且 $\bar{x} = 3$ ，现发现这组样本数据中有两个样本点 $(1.3 ， 2.6)$ 和 $(4.7 ， 7.4)$ 误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则（）

A、变量x与y具有正相关关系 B、去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + 1.4$ C、去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快 D、去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点 $(2 ， 3.75)$ 的残差为 $- 0.05$

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12. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，过点A分别作 $P B ， P D$ 的垂线，垂足分别是E，F，底面 $A B C D$ 对角线的交点为O，过点A作 $P O$ 的垂线，垂足为H，则（）

A、平面 $P B D ⊥$ 平面 $A E H$ B、平面 $P B D ⊥$ 平面 $A F H$ C、平面 $P B D ⊥$ 平面 $A E F$ D、A，E，F，H四点不可能共面

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三、填空题

13. ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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14. 一艘海轮从A地出发，沿固定航道匀速行驶，先沿北偏东75°方向航行 $\sqrt{6}$ 小时后到达海岛B，然后从海岛B出发沿北偏东 $15 °$ 方向航行一段时间到达海岛C，之后从海岛C出发沿南偏西60°方向航行回到A地，则从海岛C回到A地所需时间是小时．

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15. 袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} ， g (x) = {(x - \frac{1}{x})}^{2} - x + 10$ ，直线 $x = m (m > 0)$ 与 $y = f (x) ， y = g (x)$ 的交点分别为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $\frac{x_{2} + y_{2}}{x_{1} + y_{1}}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已如函数 $f (x) = c o s^{4} \frac{x}{2} + 2 s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) c o s (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) - s i n^{4} \frac{x}{2} ， x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的单调递减区间．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 4 ， ∠ B A C = \frac{2 π}{3} ， A H ⊥ B C$ ，垂足为H．

(1)、求 $A H$ 的长；

(2)、记向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量为 $\vec{m}$ ，向量 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{n}$ ，设 $\vec{A H} = λ \vec{m} + μ \vec{n}$ ，求实数 $λ ， μ$ 的值．

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19. 金华轨道交通金义东线金义段己于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了100名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t，得到下表：
时间 $t (m i n)$
$[0 ， 6)$
$[6 ， 12)$
$[12 ， 18)$
$[18 ， 24)$
$[24 ， 30)$
$[30 ， 36)$
人数（人）
6
30
35
17
8
4

(1)、从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于 $18 m i n$ 的概率；

(2)、估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数；

(3)、已知 $t \in [0 ， 6)$ 的6人，其平均数和方差分别为5，1.5； $t \in [6 ， 12)$ 的30人，其平均数和方差分别为8，9，计算样本数据中 $t \in [0 ， 12)$ 的平均数和方差．

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20. 如图，已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 为正三角形， $A B ⊥ B C ， A C = 2 B C$ ， D，E分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，经过 $D E$ 的平面 $α$ 与 $P B ， P C$ 分别交于点G，F，且 $P A ∥ α$ ．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 是平行四边形；

(2)、若四边形 $D E F G$ 为矩形，求直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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21. 今年，某著名高校三位一体综合评价招生的报名人数超过了18000名，为节省人力物力，设计了线上测试程序规则如下：第一轮测试，回答5个问题，若答对其中的4题或5题，则审核通过；否则进行第二轮答题，将答错的题替换为新题再次答题，若全部答对则审核通过，否则不通过．设每次答题相互独立，两轮测试互不影响，且答对每题概率均为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求仅需一轮测试的概率；

(2)、记A同学的答题个数为X，求随机变量X的分布列，并证明： $5 < E (X) < 10 - 5 p$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = (a x^{3} - x^{2} - x + 1) e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的零点个数；

(2)、求 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上的最大值．

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身高（ $c m$ ）	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170
平均体重（ $k g$ ）	6.13	7.9	10	12.2	15	17.5	20.9	26.9	31.1	38.6	47.3	55.1

时间 $t (m i n)$	$[0 ， 6)$	$[6 ， 12)$	$[12 ， 18)$	$[18 ， 24)$	$[24 ， 30)$	$[30 ， 36)$
人数（人）	6	30	35	17	8	4

	女生	男生
数学成绩优异	20	7
数学成绩一般	10	13

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828