浙江省湖州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、{3} D、{5}

查看试题解析
2. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 某种包装的大米质量 $ξ$ （单位： $k g$ ）服从正态分布 $ξ ∼ N (10 ， σ^{2})$ ，根据检测结果可知 $P (9.98 \leq ξ \leq 10.02) = 0.98$ ，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量在 $10.02 k g$ 以上的袋数大约是（）

A、5 B、10 C、20 D、40

查看试题解析
4. 已知复数z满足 $(1 - i) z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z^{2022}$ 的值为（）

A、-2020 B、1 C、-1 D、2022

查看试题解析
5. 已知 $f (x) = x - s i n x$ ，则不等式 $f (2 m + 1) + f (1 - m) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， 0)$

查看试题解析
6. 为防控疫情，保障居民的正常生活，某街道党支部决定将6名党员（4男2女）全部安排到甲､乙2个社区进行专题宣讲，每个社区至少2名党员，则两名女党员不能在同一个社区的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{11}{25}$ C、 $\frac{14}{25}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
7. 若 $(x + 1) {(\frac{x}{2} - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项是60，则实数 $a$ 的值为（）

A、±3 B、±2 C、3 D、2

查看试题解析
8. 若过点 $(s ， t)$ 可以作曲线 $y = l n x$ 的两条切线，则（）

A、 $s > l n t$ B、 $s < l n t$ C、 $t < l n s$ D、 $t > l n s$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为 $\hat{y} = 3 x + 4.5$ ，且 $\bar{x} = 4$ ，又增加了2次实验，得到2个数据点 $(2 ， 11)$ ， $(6 ， 22)$ ，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为 $\hat{y} = m x + n$ （其中m， $n \in R$ ），则（）

A、变量y与x正相关 B、 $m < 3$ C、 $n < 4.5$ D、回归直线 $\hat{y} = m x + n$ 经过点 $(4 ， 16.5)$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = | 2 s i n (2 x - \frac{π}{3}) |$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴是 $x = \frac{π}{6}$ C、若 $x \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ D、若 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 4$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
11. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

查看试题解析
12. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ⊥ C B ， C A = C B = C C_{1} ， D ， E ， M$ 分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $C C_{1} ， A B_{1}$ 的中点，点 $N$ 是棱 $A C$ 上一动点，则（）

A、对于棱 $A C$ 上任意点 $N$ ，有 $M N ⊥ B C_{1}$ B、棱 $A C$ 上存在点 $N$ ，使得 $M N ⊥$ 面 $B C_{1} N$ C、对于棱 $A C$ 上任意点 $N$ ，有 $M N$ $∥$ 面 $A_{1} D E$ D、棱 $A C$ 上存在点 $N$ ，使得 $M N ∥ D E$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ，非零向量 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{b} =$ .（写一个向量坐标即可）

查看试题解析
14. 若 $(x + 1)^{6} - (x - 1)^{5} = x^{6} + a_{1} x^{5} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{2} + a_{5} x + a_{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ .

查看试题解析
15. 学校有 $a ， b$ 两个餐厅，小明同学的早餐和午餐一定在其中某个餐厅用餐.如果小明同学早餐在 $a$ 餐厅用餐，那么他午餐也在 $a$ 餐厅用餐的概率是 $\frac{3}{4}$ ；如果小明同学早餐在 $b$ 餐厅用餐，那么他午餐在 $a$ 餐厅用餐的概率是 $\frac{1}{4}$ .若小明同学早餐在 $a$ 餐厅用餐的概率是 $\frac{3}{4}$ ，那么他午餐在 $a$ 餐厅用餐的概率是.

查看试题解析
16. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a ， x \leq 1 \\ x - a l n x ， x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在 $△ A B C$ .中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{2 b - c}{a} = \frac{c o s C}{c o s A}$ ， $a = 3$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{x} ， x \geq 1 \\ \frac{1}{x} - 1 ， 0 < x < 1 \end{array}$ .

(1)、当 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ 时，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值；

(2)、若存在实数 $a ， b (1 < a < b)$ ，使得函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ 时，其值域为 $[m a ， m b]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用 $X$ 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

查看试题解析
20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在线段 $A C$ 上， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， B C = 1 ， A C = C C_{1} = 2$ .

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、设直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $6 0^{∘}$ ，求二面角 $A_{1} - A B - C$ 的平面角的余弦值.

查看试题解析
21. 某国有芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为 $P_{1} = \frac{1}{35} ， P_{2} = \frac{1}{34} ， P_{3} = \frac{1}{33}$ .
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.005
0.001
$k$
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、①求批次 $I$ 芯片的次品率 $P_{I}$ ；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次 $I$ 的芯片智能自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.

(2)、已知某批次芯片的次品率为 $p (0 < p < 1)$ ，设100个芯片中恰有1个不合格品的概率为 $φ (p)$ ，记 $φ (p)$ 的极大值点为 $P_{0}$ ，改进生产工艺后批次 $J$ 的芯片的次品率 $P_{J} = P_{0}$ .某手机生产厂商获得 $I$ 批次与 $J$ 批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装 $I$ 批次有40部，其中对开机速度满意的有28人；安装 $J$ 批次有60部，其中对开机速度满意的有57人.求 $P_{0}$ ，并判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \geq - \frac{1}{2} x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $g (x) = (x^{2} - 2 x + 2 - a) e^{x} - e f (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性并判断是否有极值，若有极值则求出极值；若没有极值，请说明理由（注： $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）.

查看试题解析

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	6.635	7.879	10.828