浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $N = {x | - 2 < x < 2}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知平面 $α$ ､ $β$ ､ $γ$ 满足： $γ ∩ α = a$ ， $γ ∩ β = b$ ，则“ $a ∥ b$ ”是“ $α ∥ β$ ”（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $t a n α = \frac{3}{4}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 正实数a，b满足ab=1，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、5 D、8

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6. 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将这种新饮料每6罐装成一箱，其中每箱中都放置了2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出1罐，则能中奖的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 袋子中有9个材质与大小都相同的小球，其中6个白球，3个红球，每次从袋子中随机摸出1个球且不放回，则两次都摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{10}{27}$

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8. 某学校高一､高二､高三3个年级共有1080名学生，其中高一年级学生540名，高二年级学生360名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为（）

A、54 B、48 C、32 D、16

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9. 正六边形ABCDEF中， $\vec{A C} =$ （）

A、 $2 \vec{A B} + \vec{A F}$ B、 $\vec{A B} + 2 \vec{A F}$ C、 $\vec{A B} - 2 \vec{A F}$ D、 $2 \vec{A B} + 2 \vec{A F}$

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10. 十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 $a^{b} = N \Leftrightarrow b = l o g_{a} N$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），已知 $m = l o g_{6} 3$ ， $6^{n} = 12$ ，则 $m + n =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑.如图，在鳖臑 $S - A B C$ 中， $S C ⊥$ 平面ABC， $△ A B C$ 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且 $S C = \sqrt{2} A B$ ，则异面直线BC与SA所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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12. 过点（7，-2）且与直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 相切的半径最小的圆方程是（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 13$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 13$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 52$

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13. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{a} | = 1$ ，记 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = θ$ ，则 $s i n θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14. 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定： $h = 2 s i n (\frac{π}{6} t + ϕ)$ ， $t \in [0 ， + \infty)$ ， $ϕ \in (- π ， π)$ .已知当 $t = 2$ 时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在 $t = 0$ 秒时h的值为（）

A、-2 B、2 C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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15. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ， N为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的中点，M为棱 $C C_{1}$ 上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点 $C_{1}$ 时，点O的轨迹长度为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

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16. 已知函数 $f (x) = l g (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，则不等式 $f (2 x + 1) + f (x) > - 2$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{3} ， 100)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， 100)$

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二、多选题

17. 下列说法中正确的是（）

A、观察成对样本数据的散点图可以直观推断两个变量的相关关系 B、样本相关系数r的取值范围是[-1，1]，则 $| r |$ 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 C、对于经验回归方程 $\hat{y} = 3 - 2 x$ ，当解释变量x增加1个单位时，响应变量 $\hat{y}$ 平均增加2个单位 D、 $H_{0}$ ：2×2分类变量X和Y独立. 通过列联表计算得到 $χ^{2}$ 的值，则数值越大越能推断分类变量X和Y有关联

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18. 某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内.现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（）

A、频率分布直方图中a的值为0.03 B、样本数据低于120分的频率为0.3 C、总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分 D、总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等

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19. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = A D = 1$ .点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（）

A、三角形EAB面积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、当点E为边CD中点时， $2 \vec{E F} = \vec{D A} + \vec{C B}$ C、 $2 | \vec{E F} | \geq | \vec{D A} | + | \vec{C B} |$ D、 $| \vec{E A} | \cdot | \vec{E B} |$ 的最小值为 $\frac{21}{16}$

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20. 已知函数 $f （ x ） = {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， x \geq 0 \\ l n （ x + 1 ）， - 1 < x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - a x - b$ ，则（）

A、 $\exists a ， b \in R$ ，函数 $g (x)$ 没有零点 B、 $\exists a ， b \in R$ ，函数 $g (x)$ 恰有三个零点 C、 $\forall b \in R ， \exists a > 0$ ，函数 $g (x)$ 恰有一个零点 D、 $\forall a > 0 ， \exists b \in R$ ，函数 $g (x)$ 恰有两个零点

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三、填空题

21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + l o g_{2} (x + 1)$ ，则 $f (1) =$ ； $f (x)$ 的定义域是.

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22. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次，正面朝上得2分，反面朝上得-1分，用X表示抛掷6次后得到的总分，则 $P (X = 12) =$ ； $E (X) =$ .

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23. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ ， $f^{'} (2) = \frac{1}{4}$ ，则 $a =$ ； $f (x)$ 最小值为.

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24. $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $c o s B = \frac{1}{7}$ ， $A B = 2$ ， $s i n C =$ ；AC=.

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25. 在 ${(1 - x)}^{4} + {(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数是.

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26. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹子N的速度是弹子M的速度的2倍，且当弹子N移动到B处时试验中止.则活动弹子M，N间的最短距离是.

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四、解答题

27. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + s i n^{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、从下述问题①､问题②､问题③中选择一个进行解答.
问题①：当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.问题②：求 $f (x)$ 的单调递增区间.问题③：若 $f (α) = 1$ ，且 $α \in (0 ， π)$ ，试求 $α$ 的值.
注：作答时首先说明选择哪个问题解答；如果选择多个问题解答，按第一个解答计分.

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28. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC， $B C ⊥ A C$ ， BC=2，AB=4.

(1)、求证： $B C ⊥ P A$ ；

(2)、记二面角 $B - P A - C$ 的平面角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值.

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29. 已知 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ ， $g (x) = | x - 2 | + a$ ， $a \in R$ .

(1)、证明： $f (\frac{e}{2}) < 3$ （e为自然对数的底数）；

(2)、若方程 $f (x) = g (x)$ 有解，求a的范围.

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30. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以填埋方式处理，14万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的十年预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加2万吨.

(1)、请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量 $c_{n}$ 的表达式；

(2)、求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和 $S_{n}$ ；

(3)、预计今年起10年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾.
（参考数据： $1.0 5^{7} \approx 1.41$ ， $1.0 5^{10} \approx 1.63$ ， $l n 1.05 \approx 0.0488$ ）

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31. 已知椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其焦点是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的顶点.

(1)、写出椭圆C的方程；

(2)、直线l： $y = k x + m$ 与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于 $A (x ， 0)$ ， $B (0 ， y)$ 两点，当点M运动时，求点 $P (x ， y)$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

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