广东省珠海市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷（A卷）

试卷更新日期：2022-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（）种取法.

A、8 B、7 C、12 D、5

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2. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 6$ ，则 $a_{1} a_{4} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ，点 $P (a_{n} ， a_{n + 1})$ 在直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 上，则 $a_{9} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 下列函数的求导正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(s i n x)}^{^{'}} = - c o s x$ C、 ${(l n 2 x)}^{^{'}} = \frac{1}{2 x}$ D、 ${(x e^{x})}^{^{'}} = (1 + x) e^{x}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公差不为0，若 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前6项和为（）

A、6 B、11 C、36 D、51

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6. 已知某离散型随机变量 $ξ$ 的分布列为：
$ξ$
0
1
$P$
$3 q^{2}$
$2 q$
则q=（）

A、 $\frac{1}{3}$ 和-1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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7. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在曲线 $C$ ： $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 1$ 的图像上，在点 $P$ 处的曲线 $C$ 的切线与直线 $l$ ： $y = - \frac{1}{3} x + 5$ 垂直，则 $P$ 点横坐标 $x_{0}$ 为（）

A、-3或1 B、1或3 C、-3或 $- 1$ D、-1或3

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8. 函数 $y = \frac{e^{x} (x - 2)}{x - 1}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知关于变量 $x$ 的非常值函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上 $f^{'} (x) s i n 2 x + f (x) c o s 2 x < f (x)$ 成立，且 $f (x) > 0$ ；在 $(0 ， π)$ 上 $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{4})$ B、 $\sqrt{3} f (\frac{5 π}{6}) < \sqrt{2} f (\frac{3 π}{4})$ C、 $3 f (\frac{5 π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{2 π}{3})$ D、 $\sqrt{3} f (\frac{π}{6}) > f (\frac{2 π}{3})$

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二、多选题

11. 下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $Y$ 的方差 $D (Y) = 2$ ，则 $D (3 Y + 2) = 8$ B、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n ， \frac{1}{3})$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $n = 6$ C、若随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5 ， σ^{2})$ ， $P (η < 2) = 0.1$ ，则 $P (2 < η < 8) = 0.8$ D、掷一枚均匀的硬币两次，记事件 $A =$ “第一次出现正面”， $B =$ “第二次出现反面”，则 $P (A ∪ B) = P (A) + P (B)$

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12. 现安排高二年级 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）

A、共有不同的安排方法有 $4^{3}$ 种 B、若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C、若 $A$ 同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D、若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

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三、填空题

13. 计算 $\frac{A_{5}^{2} + C_{5}^{2}}{A_{3}^{3} - A_{4}^{1}} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 l n x$ 在x＝1处取得极值，则a＝．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $2 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + (n + 1) a_{n} = n (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2022} =$ .

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16. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“新驻点”，若函数 $g (x) = e^{2 x} + 1$ ， $h (x) = l n x$ ， $φ (x) = x^{3} - 1$ 的“新驻点”分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为.

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $2 (a_{3} + a_{4}) = a_{5} + a_{8}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上的值域.

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19. 已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第 $2$ 项与第 $3$ 项的二项式系数之比是 $2 ： 5$ ，按要求完成以下问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数；

(3)、计算式子 $C_{6}^{0} 2^{6} + C_{6}^{1} 2^{5} + C_{6}^{2} 2^{4} + C_{6}^{3} 2^{3} + C_{6}^{4} 2^{2} + C_{6}^{5} 2^{1} + C_{6}^{6} 2^{0}$ 的值.

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20. 已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.

(1)、求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；

(2)、求乙袋中任取出1球为白球的概率.

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21. 在一次购物抽奖活动中，共有10张奖券.其中一等奖200元券一张，二等奖150元券二张，三等奖100元券三张，其余四张没有奖.

(1)、某顾客从十张奖券中任意抽取一张，求恰好中奖的概率；

(2)、某顾客从十张奖券中任意抽取二张，设所中奖金数为 $x$ 元
①求所中奖金数 $x$ 元的概率分布列（结果保留最简分数）；
②求所中奖金数 $x$ 元的数学期望（结果保留最简分数）.

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22. 已知 $0 \leq m < 1$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} e^{x} - \frac{m}{x} - \frac{m}{x^{2}}$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上值是否存在最小 $g (m)$ ？若存在，求出 $g (m)$ 的值域；若不存在，请说明理由.

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$ξ$	0	1
$P$	$3 q^{2}$	$2 q$