4.1导数的概念及其运算——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-07-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知抛物线 $C$ ： $y = x^{2}$ ，则使得 $⊙ M$ 经过点 $P (1 ， 1)$ ， $⊙ M$ 和抛物线 $C$ 在 $P$ 处的切线斜率相等，且 $⊙ M$ 和坐标轴相切的点 $M$ 有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 曲线 $y = ln x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $cos 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 曲线 $y = x^{3} + b x^{2} + c$ 在点 $M (1 ， 0)$ 处的切线与直线 $x - y - 2 = 0$ 垂直，则 $c$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x ， x \in (0 ， π ）$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线斜率为 $\frac{8}{5}$ ，则 $s i n x_{0} - c o s x_{0} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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5. 实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 满足： $x_{1}^{2} - l n x_{1} - y_{1} = 0$ ， $x_{2} - y_{2} - 4 = 0$ ，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ 的最小值为（）

A、0 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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6. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m x + \frac{m}{2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(0 ， 2 e)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(2 e ， + \infty)$

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7. 若存在 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x ， y_{0}) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ x}$ ，则称 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x ， y_{0}) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ x}$ 为二元函数 $z = f (x ， y)$ 在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处对 $x$ 的偏导数，记为 ${f^{'}}_{x} (x_{0} ， y_{0})$ ；若存在 $\underset{Δ y \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} ， y_{0} + Δ y) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ y}$ ，则称 $\underset{Δ y \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} ， y_{0} + Δ y) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ y}$ 为二元函数 $z = f (x ， y)$ 在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处对 $y$ 的偏导数，记为 ${f^{'}}_{y} (x_{0} ， y_{0})$ ，已知二元函数 $f (x ， y) = x^{2} - 2 x y + y^{3} (x > 0 ， y > 0)$ ，则下列选项中错误的是（）

A、 ${f^{'}}_{x} (1 ， 3) = - 4$ B、 ${f^{'}}_{y} (1 ， 3) = 10$ C、 ${f^{'}}_{x} (m ， n) + {f^{'}}_{y} (m ， n)$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$ D、 $f (x ， y)$ 的最小值为 $- \frac{4}{27}$

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8. 定义满足方程 $f ′ (x) + f (x) = 1$ 的解 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = l n x$ D、 $f (x) = e^{x} - s i n x + 3$

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9. 若直线 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $y = k_{2} x + b_{2} (k_{1} \neq k_{2})$ 是曲线 $y = l n x$ 的两条切线，也是曲线 $y = e^{x}$ 的两条切线，则 $k_{1} k_{2} + b_{1} + b_{2}$ 的值为（）

A、 $e - 1$ B、0 C、-1 D、 $\frac{1}{e} - 1$

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10. 过平面内一点 $P$ 作曲线 $y = | l n x |$ 两条互相垂直的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，切点为 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ （ $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 不重合），设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别与 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，则下列结论正确的个数是（）
① $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 两点的横坐标之积为定值；②直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率为定值；③线段 $A B$ 的长度为定值；④三角形 $A B P$ 面积的取值范围为 $(0 ， 1]$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) - 1 (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，在 $x = 0$ 处的切线斜率为 $- \sqrt{3} ω$ ，若 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上只有一个零点 $x_{0}$ ，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{13}{6}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x) = - 2 x^{3} + 3 a x^{2} - f^{'} (1) x$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在点 $(- 2 ， f (- 2))$ 处的切线的斜率为（）

A、-21 B、-27 C、-24 D、-25

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13. 若曲线 $y = l n x + x^{2} + 1$ 在点（1，2）处的切线与直线 $a x + y - 1 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、－4 B、－3 C、4 D、3

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14. 曲线 $y = x^{6} - x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 4 x - 4$ B、 $y = 5 x - 5$ C、 $y = 6 x - 6$ D、 $y = 7 x - 7$

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15. 一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式 $s = t^{2} (4 t - 3)^{3}$ ，则当 $t = 1$ 时，该质点的瞬时速度为（）

A、5米/秒 B、8米/秒 C、14米/秒 D、16米/秒

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16. 若点P是曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 l n x$ 上任意一点，则点P到直线 $y = x - 3$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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17. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f' (x)$ ， $f (x)$ 的图象在点 $M (1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = \frac{1}{2} x + 2$ ，那么 $f (1) + f' (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

18. 吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）， $r^{'} (V)$ 为r（V）的导函数．已知r（V）在 $0 ≤ V ≤ 3$ 上的图象如图所示，若 $0 ≤ V_{1} < V_{2} ≤ 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{r (1) - r (0)}{1 - 0} < \frac{r (2) - r (1)}{2 - 1}$ B、 $r' (1) > r' (2)$ C、 $r (\frac{V_{1} + V_{2}}{2}) < \frac{r (V_{1}) + r (V_{2})}{2}$ D、存在 $V_{0} \in (V_{1} ， V_{2})$ ，使得 $r^{'} (V_{0}) = \frac{r (V_{2}) - r (V_{1})}{V_{2} - V_{1}}$

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19. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，直线 $y = x + a$ 与曲线 $y = e^{x - 1} - 2 b + 1$ 相切，则下列不等式成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \leq 8$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $3^{a + b} \leq \sqrt{3}$

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三、填空题

20. 函数 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{x}}$ 的图象在 $x = 0$ 处切线的倾斜角为．

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21. 已知函数 $f (x) = f^{'} (0) e^{2 x} - e^{- x}$ ，则 $f (0) =$ .

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22. 已知 $f (x) = e^{x} - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）， $g (x) = l n x + 1$ ，请写出 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的一条公切线的方程．

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23. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2}$ ，写出一个同时满足下列两个条件的 $f (x)$ ：.①在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减；②曲线 $y = f (x) (x \geq 1)$ 存在斜率为-1的切线.

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24. 某地在20年间经济高质量增长，GDP的值 $P$ （单位，亿元）与时间 $t$ （单位：年）之间的关系为 $P (t) = P_{0} {(1 + 10 %)}^{t}$ ，其中 $P_{0}$ 为 $t = 0$ 时的 $P$ 值.假定 $P_{0} = 2$ ，那么在 $t = 10$ 时，GDP增长的速度大约是.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注： $1 . 1^{10} \approx 2.59$ ，当 $x$ 取很小的正数时， $l n (1 + x) \approx x$

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25. 已知直线l是曲线 $y = e^{x} - 1$ 与 $y = l n x + 1$ 的公共切线，则l的方程为.

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26. 已知函数 $f (x) = l n x + x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线斜率为．

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27. 若曲线 $y = \frac{(x - 3) (x - 2) (x - 1) x (x + 1) (x + 2)}{x^{2} + l n x - 3} + 4 l n (3 x + 1)$ 在点 $(1 ， 8 l n 2)$ 处的切线与直线 $2 x = a y - 2$ 平行，则 $a =$ .

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28. 过点 $M (- 1 ， 0)$ 引曲线 $C$ ： $y = 2 x^{3} + a x + a$ 的两条切线，这两条切线与 $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，若 $| M A | = | M B |$ ，则 $a =$ ．

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29. 已知倾斜角为 $4 5^{∘}$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = l n x - \frac{2}{x} + 1$ 相切，则直线 $l$ 的方程是.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ （e为自然对数的底数），过点 $(0 ， b)$ 作曲线 $f (x)$ 的切线有且只有两条，则实数 $b =$ .

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31. 已知函数 $f (x) = x^{3} - f^{'} (1) x^{2} - 2$ ，则 $f (2) =$ ．

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32. 若曲线 $f (x) = \frac{a}{x} - 1 (a \neq 0)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线斜率为2，则 $a =$ ．

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四、解答题

33. 定义在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (x - k) s i n x$ .

(1)、当 $k = \frac{π}{6}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)、将 $f (x)$ 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求 $k$ 的值.

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34. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a c o s x + s i n x$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = e^{m x} + n x (m \neq 0)$ ．当m＝1时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线x－y＋1＝0垂直．

(1)、若 $f (x)$ 的最小值是1，求m的值；

(2)、若 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 图象上任意两点，设直线AB的斜率为k．证明：方程 $f^{'} (x) = k$ 在 $(x_{1} ， x_{2})$ 上有唯一实数根．

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36. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a - x) + x + 1$

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 零点的个数，并说明理由.

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37. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{e} ， f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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38. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{x^{2} - 1}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有最大值，求 $a$ 的取值范围.

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39. 已知函数 $f (x) = (a^{2} + 1) l n x + a x - \frac{a}{x}$

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) < 0$ 在（1， $+ \infty$ ）上恒成立，求a的值.

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