3.6对数与对数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-07-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $l g a + l g b = 0$ ”是“ $a b = 1$ ”的（）.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{2} (l o g_{3} 2)$ ， $c = 2^{l o g_{3} 2}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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3. 函数 $f (x) = l n (x + 3)$ 的图像与函数 $g (x) = | x^{2} - 2 |$ 的图像的交点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、0

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4. 设 $a = l o g_{3} 2 ， b = l o g_{5} 3 ， c = \frac{2}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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5. 已知 $2^{x} = 3^{y} = 6$ ，则下列不等关系正确的有（）

A、 $\frac{x}{y} > 2$ B、 $x y < 4$ C、 $x + y < 4$ D、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} > \frac{1}{2}$

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6. 当强度为 $x$ 的声音对应的等级为 $f (x)$ 分贝时，有 $f (x) = 10 l g \frac{x}{A_{0}}$ (其中 $A_{0}$ 为常数)．装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $1 0^{- 4}$ D、 $1 0^{4}$

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7. 已知实数 $a ， b \in (1 ， + \infty)$ ，且 $l o g_{3} a + l o g_{b} 3 = l o g_{3} b + l o g_{a} 4$ ，则（）

A、 $\sqrt{a} < b < a$ B、 $b < \sqrt{a} < a$ C、 $\sqrt{a} < a < b$ D、 $a < b < \sqrt{a}$

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8. 已知 $a ， b ， c ， d \in R ， 2^{a} = 3^{b} = l o g_{\frac{1}{2}} c = l o g_{\frac{1}{3}} d = 2$ ，则（）

A、 $a < b ， c < d$ B、 $a < b ， c > d$ C、 $a > b ， c < d$ D、 $a > b ， c > d$

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9. 若函数 $f (x) = 9^{x} + \frac{l o g_{3} \sqrt{x - 1}}{x^{2} - x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $9^{x_{0}} (x_{0} - 1) =$ （）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式 $Δ v = v_{e} l n \frac{m_{0}}{m_{1}}$ ，其中△v为火箭的速度增量， $v_{e}$ 为喷流相对于火箭的速度， $m_{0}$ 和 $m_{1}$ 分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭 $v_{e}$ 达到5公里/秒 $\frac{m_{0}}{m_{1}}$ ，从100提高到600，则速度增量 $△ v$ 增加的百分比约为（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 3 \approx 1.1$ ， $l n 5 \approx 1.6$

A、15% B、30% C、35% D、39%

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11. 若 $b > 0$ 且 $b \neq 1 ， l o g_{2} b = a ， l o g_{3} b = c ， a = - c d$ ，则 $2^{d} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $l o g_{2} 3$

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12. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.2} ， b = l o g_{4} 0.2 ， c = l o g_{2} 3$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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13. 已知 $3^{a} = 2$ ， $b = l n 2$ ， $c = 2^{0.3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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14. 设 $a = l o g_{2} 3 ， b = l o g_{4} 5 ， c = 2^{- 0.1}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 a x + 2 (a < 0)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) > l o g_{2} x$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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16. 设 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = {(\frac{3}{2})}^{- 1}$ ， $c = l o g_{27} 4$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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17. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$ ，则不等式 $f (x) < 2$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) ∪ (0 ， 4)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(\frac{1}{4} ， 4)$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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18. “ $m > n > 0$ ”是“ $(m - n) (l o g_{2} m - l o g_{2} n) > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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19. 区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 $2^{512}$ 种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行 $2^{512}$ 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 $2.5 \times 10^{14}$ 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据 $lg 2 \approx 0.3$ ， $\sqrt[5]{10} \approx 1.58$ ）（）

A、 $3.16 \times 10^{139} s$ B、 $1.58 \times 10^{139} s$ C、 $1.58 \times 10^{140} s$ D、 $3.16 \times 10^{140} s$

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20. 设函数 $f (x) = | s i n x |$ ，若 $a = f (l n 2)$ ， $b = f (l o g_{\frac{1}{3}} 2)$ ， $c = f (3^{\frac{1}{2}})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

21. 已知 $x^{2} + y^{2} = 4 (x y \neq 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| x + y | \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $| x y | \leq 2$ C、 $l o g_{2} | x | + l o g_{2} | y | < \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{| x |} + \frac{1}{| y |} > \sqrt{2}$

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22. 已知函数 $y = 3^{2^{x}} - 2^{3^{x}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上先增后减，函数 $y = 4^{3^{x}} - 3^{4^{x}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上先增后减.若 $l o g_{2} (l o g_{3} x_{1}) =$ $l o g_{3} (l o g_{2} x_{1}) = a > 0$ ， $l o g_{2} (l o g_{4} x_{2}) = l o g_{4} (l o g_{2} x_{2}) = b$ ， $l o g_{3} (l o g_{4} x_{3}) = l o g_{4} (l o g_{3} x_{3}) = c > 0$ ，则（）

A、 $a < c$ B、 $b < a$ C、 $c < a$ D、 $a < b$

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23. 已知实数 $a ， b$ 满足 $l n a + l n b = l n (a + 4 b)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最小值为16 B、 $a + b$ 的最大值为9 C、 $a b$ 的最大值为9 D、 $\sqrt{\frac{4}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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24. 若实数a，b满足 $\ln b < \ln a < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\log_{a} 3 < \log_{b} 3$ D、 $a^{b} > b^{a}$

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三、填空题

25. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{4} x ， x > 0 \\ f (x + 3) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 4)$ 的值为．

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26. 已知函数 $f (x) = l n x$ ，若 $f (a b) = 1$ ，则 $f (a^{4}) + f (b^{4}) =$ .

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27. 在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知 $l o g_{3} x = l g y = \frac{1}{5}$ ，则实数x，y的大小关系为， $l o g_{x} 9 =$ .

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28. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \geq 3 \\ f (x + 1) ， x < 3 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 3) =$ .

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29. 已知 $l g a + b = 2 ， a^{b} = 10$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

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30. 已知函数 $f (x) = l o g_{9} (x + 3)$ ， $x \in [0 ， m]$ ，若 $\forall x_{1} \in [0 ， m]$ ， $\exists x_{2} \in [0 ， m]$ ，使得 $f (x_{1}) = \frac{1}{f (x_{2})}$ ，则 $m =$ ．

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31. 函数 $y = f (x)$ 的反函数为 $y = l o g_{2} x + 1$ ，则 $f (3) =$ .

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32. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

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33. 已知 $3^{a} = 5^{b} = A$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 2$ ，则A等于．

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34. 某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，该名射手至少需要射击次才能使目标被击中的概率超过0.999，（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

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35. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1 ， b \in R)$ ，若 $f (x)$ 存在反函数，则 $b$ 的取值范围是．

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36. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 $Q$ ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $K (n) = λ l n n$ （ $λ$ 为常数）来描述该物种累计繁殖数量 $n$ 与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且 $Q = \frac{T}{λ} + 1$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $Q = 6$ ， $T = 50$ .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加 $11$ 倍所需要的时间为（ $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）天.

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37. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $y = a^{t} l n a$ （a为常数），记 $y = f (t)$ （ $t \geq 0$ ）．给出下列四个结论：
①设 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $t_{0} \in (1 ， 2)$ ，使得 $f (2) - f (1) = f^{'} (t_{0})$ 成立，其中 $f^{'} (t)$ 是 $f (t)$ 的导函数；
③常数 $a \in (1 ， 2)$ ；
④记浮萍蔓延到 $2 m^{2}$ ， $3 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} > t_{3}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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38. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = - l o g_{2} (x + 1)$ ．设 $g (x) = | f (x) | + f (| x |)$ ，若关于x的方程 $g (x) - m x - 2 = 0$ 有5个不同的实根，则实数m的取值范围是．

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