3.5指数与指数函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-07-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $a = l o g_{3} 4$ ， $b = \frac{4}{3}$ ， $c = {(\frac{4}{3})}^{\frac{4}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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2. 某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（）小时．

A、9 B、6 C、4 D、3

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3. 已知 $a = 2^{\frac{3}{5}} ， b = l g \frac{3}{5} ， c = {(\frac{3}{5})}^{0.6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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4. 下列函数既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{4} + x^{2}$ B、 $y = e^{- | x |}$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = l n | x |$

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5. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {y | y = \sqrt{4 - 2^{x}}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[0 ， 2)$ D、 $[- 2 ， 2)$

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6. 已知 $x ， y ， z$ 均为大于0的实数，且 $2^{x} = 3^{y} = l o g_{5} z$ ，则 $x ， y ， z$ 大小关系正确的是（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > x > y$ D、 $z > y > x$

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7. 函数 $f (x) = a^{x - 1} (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过点 $A$ ，下列函数中图象不经过点 $A$ 的是（）

A、 $y = \sqrt{1 - x}$ B、 $y = | x - 2 |$ C、 $y = 2^{x} - 1$ D、 $y = {log}_{2} (2 x)$

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8. 中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数 $I_{C R F}$ 对计算度电成本具有重要影响．等年值系数 $I_{C R F}$ 和设备寿命周期 $N$ 具有如下函数关系 $I_{C R F} = \frac{0.05 {(1 + r)}^{N}}{{(1 + r)}^{N} - 1}$ ， $r$ 为折现率，寿命周期为 $10$ 年的设备的等年值系数约为 $0.13$ ，则对于寿命周期约为 $20$ 年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（）

A、0.03 B、0.05 C、0.07 D、0.08

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9. 设a，b都是不等于1的正数，则“ $l o g_{a} 2 ＜ l o g_{b} 2$ ”是“ $2^{a} ＞ 2^{b} ＞ 2$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且 $y$ 随时间 $t$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间 $t$ （单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据 $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.098$ ）

A、7 B、9 C、10 D、11

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11. 已知 $a = 3^{0.4}$ ， $b = l o g_{4} 32$ ， $c = l o g_{5} 50$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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12. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $A (3 ， 27)$ 与点 $B (t ， 64)$ ， $a = l o g_{0.1} t$ ， $b = 0 . 2^{t}$ ， $c = t^{0.1}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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13. 设 $a = 0 . 5^{0.2}$ ， $b = l o g_{0.2} 0.5$ ， $c = l o g_{0.5} 0.2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递增，记 $a = f (l o g_{\frac{1}{3}} 2)$ ， $b = f (2 . 3^{0.3})$ ， $c = f (l o g_{2} 10)$ ，则a，b，c的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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15. 已知 $a > 0$ ，则“ $a > 2$ ”是“ $a^{a} > a^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16. 已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17. 不等式 ${(\frac{1}{2})}^{x} \leq \sqrt{x}$ 的解集是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$

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18. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数，且 $f (1) = 0$ ，若 $f (e^{x}) \geq 0$ ，则x的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， e]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0]$

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19. 若函数 $y = f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，已知函数 $g (x) = {\begin{array}{l} | \lg x | ， x > 0 ， \\ e^{x} ， x < 0 ， \end{array}$ 则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 6 ， 6]$ 内的零点个数为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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20. 若函数 $y = a^{x} + b - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．

A、 $0 < a < 1$ 且 $b > 0$ B、 $a > 1$ 且 $b > 0$ C、 $0 < a < 1$ 且 $b < 0$ D、 $a > 1$ 且 $b < 0$

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21. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且图象关于点 $(3 ， 0)$ 对称，且当 $x \in (0 ， 3)$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[2013 ， 2018]$ 上的（）

A、最小值为 $- \frac{3}{4}$ B、最小值为 $- \frac{7}{8}$ C、最大值为0 D、最大值为 $\frac{7}{8}$

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22. 已知 $a = (\frac{1}{7})^{\frac{2}{7}}$ ， $b = (\frac{2}{7})^{\frac{1}{7}}$ ， $c = (\frac{2}{7})^{\frac{2}{7}}$ ，则 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

23. 已知 $a = l o g_{2} x$ ， $b = 2^{x}$ ， $c = 3^{x}$ ，其中 $x \in (1 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > l o g_{b} c$ B、 $a^{b} > b^{c}$ C、 $a^{b} < b^{c}$ D、 $l o g_{a} b < l o g_{b} c$

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24. 在同一直角坐标系中，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = \log_{a} (x - 2)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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25. 已知 $a$ 、 $b$ 分别是方程 $2^{x} + x = 0$ ， $3^{x} + x = 0$ 的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.

A、 $- 1 < b < a < 0$ B、 $- 1 < a < b < 0$ C、 $b \cdot 3^{a} < a \cdot 3^{b}$ D、 $a \cdot 2^{b} < b \cdot 2^{a}$

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26. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + m \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + m > 0$ ” B、已知 $a \in R$ ，则“ $a \leq 1$ ”是“ $a^{2} \leq a$ ”的必要不充分条件 C、命题 $p$ ：若 $α$ 为第一象限角，则 $\sin α < α$ ；命题 $q$ ：函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有两个零点，则 $\neg p \lor \neg q$ 为假命题 D、 $\exists x_{0} \in (0 ， \frac{1}{3})$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x_{0}} > \log_{\frac{1}{3}} x_{0}$

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三、填空题

27. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 4 ， & x \leq 2 \\ 2^{x} + 2 ， & x > 2 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ ；若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为．

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28. 函数 $y = a^{x - 3} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点A，若点A在直线 $m x + n y - 1 = 0$ 上，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则mn的最大值为.

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29. 设函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = （ \frac{1}{3} ）^{x + a}$ 的图象关于直线 $y = - x$ 对称，且 $f (- 3) + f (- \frac{1}{3}) = 4$ ，则实数 $a =$ ．

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30. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：．
① $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ；② $f (x) > 0$ ；③ $f (x) > f (x)$ ．

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31. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 1 ， x \leq 0 \\ 3^{x} + m ， x > 0 \end{array}$ 在R上存在最小值，则m的取值范围是.

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32. 函数 $y = 3^{x} + \frac{a}{3^{x} + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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33. 若函数 $f (x) = a^{x}$ (a＞0且a≠1)在定义域[m ， n]上的值域是[m² ， n²](1＜m＜n)，则a的取值范围是．

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34. 已知函数 $f (x) = a^{2 x - 6} + m (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P (n, 2)$ ，则 $m + n =$ .

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