3.4二次函数与幂函数——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-07-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列函数既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{4} + x^{2}$ B、 $y = e^{- | x |}$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = l n | x |$

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2. 下列函数中，在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $f (x) = \log_{2} x$ C、 $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = x^{3}$

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3. 下列函数值中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上不是单调函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x + \sqrt{x}$ D、 $y = | x - 1 |$

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4. 设 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 0$ ”是“ $π^{a} > π^{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 满足 $2 f (2) = f (16)$ ，若 $a = f (\log_{4} 2)$ ， $b = f (\ln 2)$ ， $c = f (5^{- \frac{1}{2}})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. 已知 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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7. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $A (3 ， 27)$ 与点 $B (t ， 64)$ ， $a = l o g_{0.1} t$ ， $b = 0 . 2^{t}$ ， $c = t^{0.1}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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8. 设 $a = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 6^{\frac{1}{6}}$ ， $c = l o g_{3} 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $b l n (a + 1) = a l n (b + 2)$ ，则下列不等式恒成立的个数是（）
① $a^{3} < b^{3}$ ；② $e^{b} + e^{- a} > e^{a} + e^{- b}$ ；③ $a - \frac{1}{b} < b - \frac{1}{a}$ ；④ $\frac{b}{a} > \frac{b^{a}}{a^{b}}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知函数 $f (x)$ 满足：①对任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ；②对定义域内的任意 $x$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ ，则符合上述条件的函数是（）

A、 $f (x) = x^{2} + | x | + 1$ B、 $f (x) = \frac{1}{x} - x$ C、 $f (x) = \ln | x + 1 |$ D、 $f (x) = \cos x$

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二、多选题

11. 若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则下列表达正确的是（　　）

A、 $\log_{a} c > \log_{b} c$ B、 $\log_{c} a < \log_{c} b$ C、 $a^{c} < b^{c}$ D、 $c^{a} > c^{b}$

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12. 已知实数a，b，c满足 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $b^{2} > 4 a c$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > 0$ C、 ${(a - b)}^{c} > {(a - c)}^{c}$ D、 $l n \frac{a - b}{a - c} < 0$

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13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）．

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 为非奇非偶函数 C、过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ 且与 $f (x)$ 图象相切的直线方程为 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ D、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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14. 下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、若 $a < b < 0$ ，则 ${(\frac{1}{a})}^{3} > {(\frac{1}{b})}^{3}$ C、若 $x (x - 2) < 0$ ，则 $\log_{2} x \in (0, 1)$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b \leq 1$ ，则 $0 < a b \leq \frac{1}{4}$

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三、填空题

15. 已知α∈ ${- 2 ， - 1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3}$ .若幂函数f(x)＝x^α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则 $α$ ＝.

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16. 若幂函数 $y = x^{a}$ 的图像过点 $(2 ， 8)$ ，则 $a =$ ．

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17. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(4, \frac{1}{2})$ ，则 $f (x) =$ .

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18. 幂函数 $f (x)$ 的图像过点 $(3, \sqrt{3})$ ，则 $f (8) =$ .

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19. 若函数 $f (x) = (m + 2) x^{a}$ 是幂函数，且其图象过点 $(2 ， 4)$ ，则函数 $g (x) = {log}_{a} (x + m)$ 的单调增区间为.

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 1 ， x \leq 0 \\ 3^{x} + m ， x > 0 \end{array}$ 在R上存在最小值，则m的取值范围是.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x + 3$ 在 $(- 2 ， + \infty)$ 上单调递增，在 $(- \infty ， - 2]$ 上单调递减，则 $f (1) =$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1 ， x \leq 1 \\ x^{2} - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若 $n > m$ ，且 $f (n) = f (m)$ ，设 $t = n - m$ ，则 $t$ 的取值范围为.

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23. 函数 $f (x) = x^{2} + 2 (a - 1) x + 2$ 在区间 $[3, + \infty)$ 上是增函数，则 $a$ 的取值范围是.

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24. 命题“ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} - 2 x - m \geq 0$ ”为真命题，则实数 $m$ 的最大值为．

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25. 关于x的不等式 $m x^{2} + 6 m x + m + 8 \geq 0$ 在实数集 $R$ 上恒成立，则实数m的取值范围是．

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26. 幂函数 $f (x) = x^{- 2}$ 的单调增区间为.

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27. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a x ， x \leq 1 \\ a x + 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若∃x₁ ， x₂∈R，x₁≠x₂ ，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是．

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28. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 9, x \leq 1, \\ x + \frac{4}{x} + a, x > 1, \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的最小值为 $f (1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

29. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - 9 x + 4 > 0}$ ，集合 $B = {y | y = - x^{2} + 2 x ， x \in C_{R} A}$ ，集合 $C = {x | m + 1 < x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、求集合 $B$ ；

(2)、若 $A \cup C = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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30. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) > - 2 x$ 的解集为 $(1 ， 3)$ .

(1)、若方程 $f (x) + 6 a = 0$ 有两个相等的实根，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为正数，求实数 $a$ 的取值范围.

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