3.3函数的奇偶性、周期性与对称性——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-07-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x - 1)$ 是偶函数， $f (x + 1)$ 的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 1$ D、 $x = 2$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = s i n x + x$ B、 $f (x) = x - s i n x$ C、 $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ D、 $f (x) = \frac{x}{s i n x}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{x l n | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $f (x) = l n \sqrt{| x | + 1} + c o s x$ 在 $[- π ， π]$ 上的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{2 π}{3}) - s i n (2 x - \frac{3 π}{2})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + a ， & x < 0 \\ b x - 1 ， & x > 0 \end{array}$ 是奇函数，则（）

A、 $a = 1 ， b = - 1$ B、 $a = - 1 ， b = 1$ C、 $a = 1 ， b = 1$ D、 $a = - 1 ， b = - 1$

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = x (2^{x} - 2^{- x})$ ，设 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = l o g_{4} \frac{1}{3}$ ， $c = l o g_{5} \frac{1}{4}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (a) < f (b) < f (c)$ B、 $f (a) < f (c) < f (b)$ C、 $f (b) < f (a) < f (c)$ D、 $f (c) < f (a) < f (b)$

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9. 如图为函数 $f (x) = x^{α} \cdot s i n x ， (α \in R)$ 的部分图象，则 $α$ 的值可能是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 10 ， 10]$ 上的奇函数，且 $f (x) = f (4 - x)$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数至少为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R$ ， $f (x + \frac{1}{2}) = - f (x - \frac{1}{2})$ ．当 $x \in [- 1 ， 0)$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{3} 90) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{17}{27}$ D、 $- \frac{17}{27}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递增，记 $a = f (l o g_{\frac{1}{3}} 2)$ ， $b = f (2 . 3^{0.3})$ ， $c = f (l o g_{2} 10)$ ，则a，b，c的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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13. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减．若 $f (l g x) > f (1)$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{10} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{10}) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{10} ， 10)$ D、 $(0 ， \frac{1}{10}) ∪ (10 ， + ∞)$

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{| x | - 1}{x} l n | x |$ ，其图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15. 下列函数中，既是偶函数又在 $(- \infty$ ， $0)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = l n \frac{1}{| x |}$ D、 $y = x c o s x$

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16. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为偶函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 4^{x} - c o s x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{4043}{2}) > f (2022) > f (\frac{4039}{2})$ B、 $f (2022) > f (\frac{4039}{2}) > f (\frac{4043}{2})$ C、 $f (\frac{4043}{2}) > f (\frac{4039}{2}) > f (2022)$ D、 $f (\frac{4039}{2}) > f (2022) > f (\frac{4043}{2})$

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17. 设 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 8$ ，则 $f (x - 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 4)$

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18. 已知函数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，则对任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，“ $x_{1} + x_{2} > 0$ ”是“ $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象见下图，且 $f (x + 2) = f (2 - x)$ 对 $x \in R$ 恒成立，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 1) < f (\frac{1}{2}) < f (\frac{5}{2})$ B、 $f (\frac{5}{2}) < f (\frac{1}{2}) < f (- 1)$ C、 $f (- 1) < f (\frac{5}{2}) < f (\frac{1}{2})$ D、 $f (\frac{1}{2}) < f (- 1) < f (\frac{5}{2})$

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20. 函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递减，且为偶函数．若 $f (2) = - 1$ ，则满足 $f (x - 3) \geq - 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 5]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[3 ， 5]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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二、多选题

21. 若函数 $f (x)$ 同时具有性质：①对于任意的 $x ， y \in R$ ， $\frac{f (x) + f (y)}{2} \geq f (\frac{x + y}{2})$ ， ② $f (x)$ 为偶函数，则函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ C、 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ D、 $f (x) = l n (| x | + 1)$

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22. 已知三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - 1$ ，若函数 $g (x) = f (- x) + 1$ 的图象关于点（1，0）对称，且 $g (- 2) < 0$ ，则（）

A、 $a < 0$ B、 $g (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 的对称中心是 $(- 1 ， 0)$ D、 $12 a - 4 b + c < 0$

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23. 若函数 $f (2 x + 1)$ （ $x \in R$ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 B、2是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2021) = 0$ D、 $f (2022) = 0$

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24. 已知函数 $f (x) = l g (\sqrt{x^{2} + 100} - x)$ ， $g (x) = \frac{2}{1 + 2^{x}}$ ， $F (x) = f (x) + g (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(0 ， 1)$ 对称 B、 $g (x)$ 的图象没有对称中心 C、对任意的 $x \in [- a ， a] (a > 0)$ ， $F (x)$ 的最大值与最小值之和为 $4$ D、若 $\frac{F (x - 3) + x - 3}{x - 1} < 1$ ，则实数 $x$ 的取值范围是 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$

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25. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) + x^{3}$ ， $g (x) = f (x + 1)$ ．若实数a，b(a，b均大于1)满足 $g (3 b - 2 a) + g (- 2 - a) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在R上单调递增 B、函数 $g (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 中心对称 C、 $e^{a - b} > \frac{b}{a}$ D、 $l o g_{a} (a + 1) > l o g_{b} (b + 1)$

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26. 已知定义域为 $I$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $\exists x_{0} \in I$ ，使 $f (x_{0}) < 0$ ．则下列函数中符合上述条件的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 3$ B、 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ C、 $f (x) = l o g_{2} | x |$ D、 $f (x) = c o s x + 1$

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三、填空题

27. 已知 $f (x)$ 是定义为R的奇函数，当 $x \geq 0$ ， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (- 1) =$ .

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28. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{3}{x} ， x > 0 \\ f (x + 3) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 4) =$ ，若 $f (a) = f (- 2)$ ，则实数a的最大值为．

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29. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 满足 $2 f (x) = g (x) - g (- x)$ ，且对于任意x都满足 $f (x) + f (- x - 4) + 5 = 0$ ，则 $f (2021) + f (2019) =$ ．

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30. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2} + a$ .
①对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 为偶函数；
②对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；
③存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点；
④存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2022$ 的解集为 $(- \infty ， - 1] ∪$ $[1 ， + \infty)$ .
所有正确命题的序号为.

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31. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ ，有 $f (- x) = f (x)$ 且 $x \geq 0$ ， $f (x) = e^{x} - e^{- x} - s i n 2 x$ ，则 $f (x) > f (\frac{π}{4})$ 的解集为．

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32. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m x}{e^{x} - 1}$ 是偶函数，则 $m =$ ．

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33. 已知函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，有下列命题：
① $f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2022) = 0$ ；

②点 $(2022 ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心；

③函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2022 ， 2022]$ 上有2023个零点；

④函数 $y = f (x)$ 在 $[7 ， 9]$ 上为减函数；

则正确结论的序号为．

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34. 已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = 2^{- x}$ ，则 $f (l o g_{2} 3)$ 的值为．

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35. 若 $f (x) = g (x) \cdot l n (x^{2} - 1)$ 为奇函数，则 $g (x)$ 的表达式可以为 $g (x) =$ .

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