3.2 函数的单调性与最值——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-07-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$ ，不等式 $f (x^{2}) > f (x + 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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2. 已知： $a = e^{0.42}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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3. 下列函数既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{4} + x^{2}$ B、 $y = e^{- | x |}$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = l n | x |$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - x - 1 ， x \leq 0 ， \\ - f (- x) ， x > 0 ， \end{array}$ 则使不等式 $f (l n x) > - \frac{1}{e}$ 成立的实数x的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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5. 已知 $x_{1} + 2^{x_{1}} = 0$ ， $x_{2} + l o g_{2} x_{2} = 0$ ， $3^{- x_{3}} - l o g_{2} x_{3} = 0$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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6. 已知函数 $f (x) = l n 2^{- x} - x^{3}$ ，则不等式 $f (3 - x^{2}) > f (2 x - 5)$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (2 ， + \infty)$

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7. 下列函数在其定义域上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ B、 $y = x^{- 3}$ C、 $y = t a n x$ D、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$

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8. 已知 $a = e^{0.1} - 1$ ， $b = s i n 0.1$ ， $c = l n 1.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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9. 已知 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ B、 $s i n a - s i n b > 0$ C、 $| a | - | b | < 0$ D、 $l n (- a) + l n (- b) > 0$

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10. 下列函数中，既是偶函数又在 $(- \infty$ ， $0)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = l n \frac{1}{| x |}$ D、 $y = x c o s x$

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11. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为偶函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 4^{x} - c o s x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{4043}{2}) > f (2022) > f (\frac{4039}{2})$ B、 $f (2022) > f (\frac{4039}{2}) > f (\frac{4043}{2})$ C、 $f (\frac{4043}{2}) > f (\frac{4039}{2}) > f (2022)$ D、 $f (\frac{4039}{2}) > f (2022) > f (\frac{4043}{2})$

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12. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）
① $f (x) = \frac{1}{x}$ ，② $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x)$ ，③ $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ，④ $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} ， x ⩾ 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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13. 已知函数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，则对任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，“ $x_{1} + x_{2} > 0$ ”是“ $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递减，且为偶函数．若 $f (2) = - 1$ ，则满足 $f (x - 3) \geq - 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 5]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[3 ， 5]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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15. 若函数 $f (x + 2)$ 为偶函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} ∈ [2 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则（）

A、 $f (l o g_{2} 6) < f (\frac{3}{2}) < f (l o g_{3} 12)$ B、 $f (l o g_{3} 12) < f (\frac{3}{2}) < f (l o g_{2} 6)$ C、 $f (\frac{3}{2}) > f (l o g_{2} 6) > f (l o g_{3} 12)$ D、 $f (l o g_{3} 12) > f (l o g_{2} 6) > f (\frac{3}{2})$

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16. 函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 \sin x$ .若 $4^{a} = 20$ ， $b = \log_{5} 10$ ， $c = \log_{a} b$ ，则有（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (a) > f (c) > f (b)$ C、 $f (b) > f (a) > f (c)$ D、 $f (b) > f (c) > f (a)$

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17. 已知 $x = \sqrt{2} ， y = e^{\frac{1}{e}} ， z = π^{\frac{1}{π}}$ ，则 $x ， y ， z$ 的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $y > z > x$

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18. 已知 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数，设 $a = \frac{2022}{2021}$ ， $b = \frac{2023}{2022}$ ， $c = \frac{4045}{4043}$ ， $d = e^{\frac{1}{2022}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b < a < c < d$ B、 $c < b < d < a$ C、 $b < d < c < a$ D、 $b < a < d < c$

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19. 已知 $f (x - 1)$ 为定义在R上的奇函数， $f (1) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 0)$ 上单调递增，在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，则不等式 $f (2^{x} - 5) < 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， l o g_{2} 6)$ B、 $(- \infty ， 1) ∪ (2 ， l o g_{2} 6)$ C、 $(l o g_{2} 6 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2) ∪ (l o g_{2} 6 ， + \infty)$

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20. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（）

A、（－1，＋∞） B、 $(- \frac{1}{4} ， + \infty)$ C、（0，＋∞） D、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$

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二、多选题

21. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 B、 $f (x + 4) = f (x)$ C、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在区间 $[2021 ， 2022]$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上的解析式为 $f (x) = l n x + 1$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上的解析式为 $f (x) = l n (x - 1) + 1$

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22. 已知定义在 $R$ 的偶函数 $f (x)$ ，其周期为4，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则（）

A、 $f (l o g_{2} 3) = 1$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 2]$ C、 $f (x)$ 在 $[4 ， 6]$ 上为减函数 D、 $f (x)$ 在 $[- 6 ， 6]$ 上有8个零点

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三、填空题

23. 函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x + 2^{x} - 1$ ，则不等式 $f (x) > 3$ 的解集为.

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24. 请写出一个函数表达式满足下列3个条件：①最小正周期 $T = π$ ；②在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递减；③奇函数

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25. 已知 $f (x) = 2022 x^{2} + l o g_{2} | x |$ ，且 $a = f ({(\frac{1}{10})}^{- 0.2}) ， b = f (l g \frac{1}{2022}) ， c = f (4^{l o {g_{0.2}}^{6}})$ ，则 $a ， b ， c$ 之间的大小关系是.（用“ $<$ ”连接）

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26. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq a ， \\ x^{3} ， x > a . \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不是增函数，则a的一个取值为.

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27. 已知 $0 < a \neq 1$ ， $a^{x} > l o g_{a}^{} x (x > 0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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28. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ 的解析式．
① $f (x y) = f (x) f (y)$ ；② $f^{'} (x)$ 是偶函数；③ $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．

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29. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (9 - a^{x}) ， g (x) = l o g_{a} (x^{2} - a x)$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [3 ， 4]$ 使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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30. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x) + 1$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = x^{3}$ ．设 $f (x)$ 在区间 $[n ， n + 1) (n \in N^{*})$ 上的最小值为 $a_{n}$ ．若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $λ (a_{n} + 1) < 2 n - 7$ 有解，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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