高中数学暑期专题训练（一）复数运算、平面向量、空间向量题型

试卷更新日期：2022-07-13 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $(1 + i) (a + i)$ 为纯虚数，其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. 设复数 $z = 1 - {(1 - i)}^{2}$ ，则复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $3 + 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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3. 若复数z满足 $z + 2 \bar{z} = 6 + 3 i$ ，则在复平面内复数z对应的点Z位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 复数 $z_{1} = a + b i$ 在复平面内对应的点为 $Z_{1}$ ，将点 $Z_{1}$ 绕坐标原点逆时针旋转一定的角度 $θ$ ，得到点 $Z_{2}$ ， $Z_{2}$ 对应的复数为 $z_{2}$ ，则 $z_{2} =$ （）．

A、 $b c o s θ + a s i n θ + (a c o s θ - b s i n θ) i$ B、 $b c o s θ + a s i n θ - (a c o s θ - b s i n θ) i$ C、 $a c o s θ - b s i n θ + (b c o s θ + a s i n θ) i$ D、 $a c o s θ - b s i n θ - (b c o s θ + a s i n θ) i$

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5. 棣莫弗公式 ${(\cos x + i \cdot \sin x)}^{n} = \cos (n x) + i \cdot \sin (n x)$ （其中 $i$ 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 ${(\cos \frac{π}{3} + i \cdot \sin \frac{π}{3})}^{4}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 在平行四边形ABCD中，点E为CD中点， $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，则 $\vec{B E}$ 等于（　　）

A、- $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ - $\vec{b}$ B、- $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ C、 $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ - $\vec{b}$ D、 $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\vec{b}$

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7. 如图所示，已知P，Q，R分别是 $△ A B C$ 三边的AB，BC，CA的四等分，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，以下向量表示正确的是（）

A、 $\vec{Q P} = - \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\vec{Q R} = - \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{P R} = - \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ D、 $\vec{B C} = \vec{a} - \vec{b}$

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8. 已知点 $A (0 ， 1) ， B (2 ， 3)$ ，向量 $\vec{B C} = (- 3 ， 1)$ ，则向量 $\vec{A C} =$ （）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 3 ， k)$ .

(1)、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，求实数k的取值范围.

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10. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， - 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 3 ， 2) ， \overset{⇀}{c} = (1 ， 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ D、 $\vec{c} = 5 \vec{a} + 3 \vec{b}$

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11. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、4

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12. 已知向量 $\vec{a} = (c o s α ， s i n α)$ ， $\vec{b} = (1 ， - \sqrt{3})$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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13. 平面非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (2 ， 3)$ ，若 $λ$ 为实数， $(2 \vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、8 B、-8 C、4 D、-4

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15. 设点 $E$ 、 $F$ 分别为直角 $Δ A B C$ 的斜边 $B C$ 上的三等分点，已知 $A B = 3$ ， $A C = 6$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F}$ （）

A、 $10$ B、 $9$ C、 $8$ D、 $7$

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16. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $B = 60 ° ， | \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 12)$ B、 $[- \frac{1}{4} ， 12)$ C、 $(0 ， 4]$ D、 $(0 ， 2]$

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17. 如图：在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1} ， B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{c}$ ，则向量 $\overset{⇀}{B M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$

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18. 已知 $\vec{a}$ ＝(2，－3，1)，则下列向量中与 $\vec{a}$ 平行的是（）

A、(1，1，1) B、(－2，－3，5) C、(2，－3，5) D、(－4，6，－2)

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19. 已知点 $A (2 ， 3 ， - 2)$ ， $B (- 1 ， k ， 5)$ ， $O$ 为坐标原点，若向量 $\vec{O A} ⊥ \vec{A B}$ ，则实数 $k =$ （）

A、4 B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{29}{3}$ D、-4

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20. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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21. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (x ， y ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、9 B、6 C、5 D、3

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22. 已知空间四点 $A (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $B (0 ， 0 ， 1)$ ， $C (2 ， 2 ， 2)$ ， $D (0 ， 0 ， 3)$ ，则 $\cos 〈 \vec{A B} ， \vec{C D} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

23. 关于复数 $z = c o s \frac{2 π}{3} + i s i n \frac{2 π}{3}$ （i为虚数单位），下列说法正确的是（）

A、 $| z | = 1$ B、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于第二象限 C、 $z^{3} = 1$ D、 $z^{2} + z + 1 = 0$

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24. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ C、 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{4}$ D、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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25. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， k) ， \vec{b} = (k + 1 ， 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $k =$ ．

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三、填空题

26. 已知 $z \in C$ ，且 $| z - i | = 1 ， i$ 为虚数单位，则 $| z - 3 - 5 i |$ 的最大值是 .

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四、解答题

27. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (x ， - 1)$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，求x的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b})$ ，求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值.

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