广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-13 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ x > 1} ， B = {x ∣ 0 < x < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x < 4}$ B、 ${x ∣ x > 0}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

查看试题解析
2. 若 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

查看试题解析
3. 已知 $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，则 $s i n (π + α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
4. 如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $M$ 为 $A D$ 的中点，若 $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则实数对 $(λ ， μ) =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $(1 ， \frac{1}{2})$

查看试题解析
5. 已知直线 $m ， n$ 与平面 $α ， β ， γ$ ，则能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $m ⊥ n$ ， $α ∩ β = m$ ， $n \subset β$ C、 $m / / α$ ， $m / / β$ D、 $m / / α$ ， $m ⊥ β$

查看试题解析
6. 国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为（）

A、6 B、12 C、24 D、48

查看试题解析
7. 如图， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点， $P$ 为椭圆上的点， $P T$ 为 $△ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线， $F_{2} T ⊥ P T$ ，则 $| O T | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、4

查看试题解析
8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 \\ x + \frac{1}{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = x + b$ 有3个不同的实根，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知样本数据 $2 x_{1} + 1 ， 2 x_{2} + 1 ， \cdot \cdot \cdot ， 2 x_{n} + 1$ 的平均数是2，方差为16，则样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ 的（）

A、平均数是0.5 B、平均数是1 C、方差是4 D、方差是5

查看试题解析
10. 已知直线 $l ： x - y + 1 = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、直线 $l$ 与圆 $C$ 相交 B、圆 $C$ 上的点到直线 $l$ 距离的最大值为 $\sqrt{2}$ C、直线 $l$ 关于圆心 $C$ 对称的直线的方程为 $x - y - 1 = 0$ D、圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称的圆的方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ， $n \in N_{+}$ ，则（）

A、 $a_{2022} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{2022} = - 1$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} a_{2023} = - 1011$

查看试题解析
12. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为 $y = A s i n ω x$ ，其中 $A$ 影响音的响度和音长， $ω$ 影响音的频率，平时我们听到的音乐都是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n} s i n n x + \cdot \cdot \cdot$ .令 $f_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} s i n k x$ 则下列说法正确的有（）

A、 $f_{n} (x)$ 是奇函数 B、 $f_{n} (x)$ 是周期函数 C、 $y = f_{2} (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、 $f_{3} (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增

查看试题解析

三、填空题

13. 若 $f (x) = 1 + \frac{a}{3^{x} + 1} (x \in R)$ 是奇函数，则实数 $a =$ .

查看试题解析
14. 已知双曲线的渐近线方程是 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ ，且双曲线经过点 $M (4 ， 3)$ ，则双曲线的标准方程为.

查看试题解析
15. 如图，已知一个圆锥的底面半径为 $1 d m$ ，高为 $3 d m$ ，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 $d m^{3}$ .

查看试题解析
16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.例如：取正整数 $n = 5$ ，根据上述运算法则得出 $5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ ，共需 $5$ 个步骤变成 $1$ ，称为 $5$ 步“雹程”.一般地，对于正整数 $n$ ，根据上述运算法则，第一次变成 $1$ 时，所需步数称为 $n$ 的“雹程”，记为 $B (n)$ .则 $B (17) =$ ；若 $B (n) = 8$ ，则 $n$ 的所有可能取值的集合为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，公比 $q = 8$ .在 ${a_{n}}$ 中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列 ${b_{n}}$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = l o g_{2} b_{n}$ ， $n \in N_{+}$ ，证明： $\frac{1}{c_{1} c_{2}} + \frac{1}{c_{2} c_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{c_{n} c_{n + 1}} < 1$ .

查看试题解析
18. 记 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a c o s B + b c o s A = \sqrt{3} c t a n A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 ， b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
19. 如图（1），在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $B C = C D = \frac{1}{2} A B = 2$ ，取 $A B$ 的中点 $O$ ，连结 $O D$ ，并将 $△ A O D$ 沿着 $O D$ 翻折，翻折后 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $M ， N$ 分别是线段 $A D ， A B$ 的中点，如图（2）.

(1)、求证： $A C ⊥ O M$ ；

(2)、求平面 $O M N$ 与平面 $O B C D$ 夹角的余弦值.

查看试题解析

20. 为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有

A ， B ， C

三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对

A ， B ， C

三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：

问题	$A$	$B$	$C$
答对的概率	0.6	0.5	0.2
获得的荣誉积分	1000	2000	3000

(1)、若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；

(2)、若小明按照

A ， B ， C

的顺序答题所获得的总积分为

X

，按照_______（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为

Y

，请分别求

X ， Y

的分布列，并比较它们数学期望的大小.

① $C ， B ， A$ ；② $B ， A ， C$ ：③ $A ， C ， B$

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析

21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为 $\frac{5}{2}$ ，且点 $M$ 的纵坐标为 $2 \sqrt{p}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程和点 $M$ 的坐标；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $M A ⊥ M B$ ，证明直线 $l$ 过定点.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ，已知直线 $y = 2 x + 1$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线.

(1)、求 $a$ 的值，并讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{1} \cdot x_{2} > 4$ .

查看试题解析