吉林省长春市二道区2022年九年级数学模拟试题

试卷更新日期：2022-07-13 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个实数中，最大的是（）

A、-1.2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、0

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2. 2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩、雪容融成为名副其实的顶流，实力演绎了什么是“一墩难求”，线上线下曾一度缺货，某专卖店销量比较火爆的一款冰墩墩摆件销量已经超过了25000件．其中25000用科学记数法可以表示为（）

A、 $25 \times 1 0^{3}$ B、 $2.5 \times 1 0^{4}$ C、 $2.5 \times 1 0^{3}$ D、 $0.25 \times 1 0^{4}$

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3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、长方体 D、三棱柱

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4. 在数轴上点A表示的数为 $x - 1$ ，点B表示的数为2.若点A在点B的左侧，则x的取值范围为品（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x < 3$ D、 $x > 3$

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5. 如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使 $B P ⊥ A P$ （河的两岸平行）.若利用测量工具测得 $P B$ 为m米， $∠ P B A = α$ ，根据测量数据可计算得到小河宽度 $P A$ 为（）

A、 $m s i n α$ 米 B、 $m c o s α$ 米 C、 $m t a n α$ 米 D、 $\frac{m}{t a n α}$ 米

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6. 如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）

A、AC⊥BD B、AB⊥BC C、AC＝BD D、∠1＝∠2

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7. 如图，在边长为2的等边 $△ A B C$ 中，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心、大于 $A C$ 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D；②作射线 $B D$ ，与边 $A C$ 相交于点 $E$ ；③以点B为圆心， $B E$ 长为半径作圆弧，交边 $B C$ 于点F.则图中阴影部分（扇形 $B E F$ ）的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A、B均在函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上，点C在y轴正半轴上， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ．若点 $B$ 的横坐标是点A横坐标的3倍，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、5 D、6

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二、填空题

9. 分解因式： $m^{2} - 16 =$ .

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10. 要使关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是.

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11. 有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为平方米.

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12. 如图， $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 的内接三角形， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 切 $⊙ O$ 于点B，交 $A C$ 的延长线于点D．若 $∠ A C B = 70 °$ ，则 $∠ D$ 的大小为度.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转，得到 $△ D E C$ .当点A的对应点D落在边 $B C$ 上时，连接 $B E$ ，则线段 $B E$ 的长为.

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14. 点 $P (t ， y_{1})$ 、 $Q (t + 1 ， y_{2})$ 均在抛物线 $y = a (x - 1)^{2} + b$ （ $a < 0$ ， a、b为常数）上，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则t的取值范围为.

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(a + 1)^{2} - (a + 3) (a - 3)$ ，其中 $a = \frac{5}{2}$ .

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16. 某小区某天在广场设置了A、B、C三个核酸检测通道，甲、乙两人这天均随机选择这三条通道中的一条进行核酸检测.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人这天在同一个检测通道进行核酸检测的概率.

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17. 按照疫情防控的要求，某校计划在学生返校前对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天.求原计划每天可以清扫和消毒的教室个数.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边 $A C$ 的中点，连结 $B D$ 并延长至点E，使 $D E = B D$ ，延长 $B C$ 至点F，使 $C F = B C$ ，连结 $A E$ 、 $E F$ .

(1)、求证：四边形 $A C F E$ 是平行四边形.

(2)、连结 $A F$ ，交线段 $B E$ 于点G.若 $△ A B C$ 的面积为2，则 $△ A D G$ 的面积为.

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19. 图①、图②均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹.

(1)、在图①中确定一个格点D，连接 $A D$ 、 $C D$ ，使四边形 $A D C B$ 是平行四边形.

(2)、先在图②中的线段 $A B$ 上确定一点E，使 $C E$ 最短，再在图②中确定一点F，连接 $E F$ 、 $F C$ ，使四边形 $B E F C$ 为平行四边形.

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20. 为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下表：
组别
质量/千克
频数（只）
A
$1.3 \leq x < 1.5$
6
B
$1.5 \leq x < 1.7$
a
C
$1.7 \leq x < 1.9$
14
D
$1.9 \leq x < 2.1$
9
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、表中a=.

(2)、这50只鸡质量的中位数落在组.

(3)、估计这3000只鸡中质量不小于1.7千克的有多少只?

(4)、这些贫困户的总收入达到68000元就能实现全员脱贫目标．若这50只鸡的总质量为80千克，按每千克15元的市场价格来销售这批鸡，通过计算说明该村贫困户能否脱贫．

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21. 有甲、乙两个港口，一艘客船从甲港口出发，顺流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙两个港口之间顺流航行的速度是每小时32千米.客船距乙港口的距离y（千米）与客船行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示.

(1)、甲、乙两个港口的距离是千米.

(2)、求y与x之间的函数关系式.

(3)、甲、乙两个港口之间有一个灯塔P，若客船这次航行时两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，直接写出灯塔P与甲港口之间的距离.

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22. 【问题原型】数学老师给学生布置了下面这个问题：
如图①，在等边 $△ A B C$ 中，点D为边 $B C$ 上任意一点，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点D顺时针旋转60°，得到线段 $D E$ ，连接 $C E$ .求证： $B D = C E$ .

(1)、【问题解决】小明的想法：连接 $A E$ ，利用三角形全等证明线段相等.
小亮的想法：在边 $A B$ 上取点F，使 $B F = B D$ ，利用三角形全等证明线段相等.
在小明或小亮两人的方法中选择一种解决问题原型中的问题.

(2)、【类比应用】如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点D为边 $B C$ 上任意一点，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点D顺时针旋转90°，得到线段 $D E$ ，连接 $C E$ .判断线段 $B D$ 和 $C E$ 的数量关系，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点D为边 $B C$ 延长线上一点，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点D顺时针旋转90°，得到线段 $D E$ ，连接 $C E$ .当 $∠ A D B = 30 °$ 时，直接写出 $\frac{C E}{D E}$ 的值.

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 15$ ， $B C = 20$ .点P从点A出发，沿线段 $A B$ 以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动.当点P不与点A、点B重合时，过点P作 $P Q ⊥ A B$ ，其中点Q在 $A B$ 上方， $∠ Q A P = ∠ A B C$ ，以 $A Q$ 、 $A P$ 为邻边作 $▱ A P F Q$ .设点P运动的时间为t（秒）.

(1)、边 $A B$ 的长为；点C到边 $A B$ 的距离为.

(2)、当点F落在边 $B C$ 上时，求 $▱ A P F Q$ 的周长.

(3)、设线段 $Q F$ 与边 $B C$ 交于点M，线段 $P F$ 与边 $B C$ 交于点N.当 $M N = 5$ 时，求 $A P$ 的长.

(4)、连结 $C P$ ，沿直线 $C P$ 将 $▱ A P F Q$ 剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出t的值.

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - 1$ （m为常数）.

(1)、求此抛物线的顶点坐标.（用含m的式子表示）

(2)、当 $x \geq 1 - 2 m$ 时，抛物线对应的函数值y随x的增大而先增大后减小，求m的取值范围.

(3)、将抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - 1$ （m为常数）在y轴右侧的部分沿着直线 $y = - 1$ 翻折，翻折后的图像与原抛物线剩余部分合称为图像G.
①当 $m = 1$ 时，在如图的平面直角坐标系中画出图像G.
②当 $m = 1$ ，且图像G与直线 $y = n$ 有且只有两个公共点时，求这两个公共点之间的距离.
③正方形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 的坐标为 $(0 ， 0)$ ，顶点B的坐标为 $(2 m ， - 2 m)$ ，当图像G和正方形 $O A B C$ 的边有且只有四个公共点时，直接写出m的取值范围.

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组别	质量/千克	频数（只）
A	$1.3 \leq x < 1.5$	6
B	$1.5 \leq x < 1.7$	a
C	$1.7 \leq x < 1.9$	14
D	$1.9 \leq x < 2.1$	9